Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

7. Motivische Homotopietheorie
X = G m ∧ G m oder X = A 1 sowie für Y = G • verwenden, was möglich ist, da die
singuläre Auflösung Sing A1
• G = G • bereits A 1 -lokal fibrant ist.
Nach Voraussetzung ist
[C] ∈ [G m ∧ G m , Ω s G • ] A 1 ≃ [Σ s (G m ∧ G m ), G • ] A 1,
also können wir [C] verknüpfen mit [Σ s ψ] −1
A 1 ◦[Σ s˜s] A 1 und erhalten nach Proposition 7.13
eine triviale Homotopieklasse
[ ˜C] := [C] ◦ [Σ s ψ] −1
A 1 ◦ [Σ s˜s] A 1 ∈ [Σ s A 1 , G • ] A 1 ≃ [A 1 , Ω G • ] A 1,
die [C] fortsetzt, d.h. jedes Element C(a, 1 − a) ist homotop zu einem Element
˜C(a, 1 − a), welches sich auf den Basispunkt Id kontrahieren lässt. Damit ist auch die
Klasse von C(a, 1 − a) in π 1 (G • ) trivial.
Korollar 7.15. Für G • = Sing A1
• G erfüllt der Morphismus
G m ∧ G m → π 1 (G • , Id), x ∧ y ↦→ [C α t (x, y)]
die Steinberg-Relation, d.h. [C α t (a, (1 − a))] = [Id].
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