Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

3.5. Äußere Automorphismen von Wurzelsystemen
Dies ist eine Aufzählung der “klassischen” irreduziblen reduzierten Wurzelsysteme
mit einfach zusammenhängenden Chevalley-Gruppen, die die entsprechenden Wurzelsysteme
haben:
• A n , n ≥ 2: SL n+1
• B n , n ≥ 3: Spin n,n+1
• C n , n ≥ 1: Sp 2n
• D n , n ≥ 3: Spin n,n
Lemma 3.37. Die einzigen Automorphismen von irreduziblen reduzierten Wurzelsystemen,
die von Automorphismen der entsprechenden Dynkin-Diagramme induziert
werden, sind die folgenden:
(a). Auf dem Dynkin-Diagramm von A n für n ≥ 2 operiert α i ↦→ α n+1−i , die Fixpunkte
sind für n gerade das Dynkin-Diagramm von A n/2 und für n ungerade
C (n+1)/2 .
(b). Auf dem Dynkin-Diagramm von D 4 operiert die S 3 via Permutation der Endknoten.
Je nach Permutation bilden die Fixpunkte entweder das Dynkin-Diagramm
von A 1 oder A 2 .
(c). Auf dem Dynkin-Diagramm von D n für n ≥ 5 operiert α n ↦→ α n−1 , α n−1 ↦→
α n , α i ↦→ α i sonst. Die Fixpunkte bilden das das Dynkin-Diagramm von A n−1 .
(d). Auf dem Dynkin-Diagramm von E 6 operiert das simultane Vertauschen von α 3
mit α 5 und α 1 mit α 6 , die Fixpunkte bilden das das Dynkin-Diagramm von A 2 .
Auf diese Weise erhält man Einbettungen der entsprechenden Fixpunkte in die größeren
Wurzelsysteme.
Diese Eigenschaften lassen sich sämtlich am Dynkin-Diagramm ablesen. Für eine
ausführlichere Diskussion siehe [Bou68, Chapter VI, §4].
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Wenn man die Fixpunkte eines Automorphismus s nicht auf Ebene der Dynkin-
Diagramme betrachtet, sondern auf Ebene der Wurzelsysteme die “Ko-varianten”
Φ s := Φ/(id −s)Φ, erhält man andere Einbettungen von Wurzelsystemen:
Lemma 3.38. Für die durch die Dynkin-Diagramm-Automorphismen aus Lemma 3.37
induzierten Automorphismen s eines Wurzelsystems Φ gilt das folgende, wenn wir
Φ s := Φ/(id −s)Φ betrachten:
(a). Ist Φ = A 2n mit n ≥ 1, so ist Φ s ≃ A n .
(b). Ist Φ = A 2n+1 , so ist Φ s ≃ C n .
(c). Ist Φ = D 4 , so ist Φ s ≃ G 2 .
(d). Ist Φ = D n+1 mit n ≥ 4, so ist Φ s ≃ B n .
(e). Ist Φ = E 6 , so ist Φ s ≃ F 4 .
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