Matsumotos Satz und A¹-Homotopietheorie - Konrad Voelkel

5. Abstrakte Homotopietheorie
M3 Sind f, g ∈ Mor M sodass f ein Retrakt von g ist, so gilt für jede Klasse
K ∈ {W, C, F } bereits g ∈ K =⇒ f ∈ K.
M4 Kofaserungen haben die rechte Liftungseigenschaft bezüglich Faserungen, die
zugleich schwache Äquivalenzen sind. Faserungen haben die linke Liftungseigenschaft
bezüglich Kofaserungen, die zugleich schwache Äquivalenzen sind.
M5 Ist h ∈ Mor M, so gibt es zwei funktorielle Faktorisierungen h = g ◦ f, wobei g
eine Faserung und f eine Kofaserung ist:
a) g ist außerdem eine schwache Äquivalenz;
b) f ist außerdem eine schwache Äquivalenz.
Diese Definition ist [Hir03, Definition 7.1.3, S. 109].
Definition 5.4. Sei M eine Modellkategorie und X ein Objekt in M. Dann heißt
X fibrant, wenn der terminale Morphismus X → pt eine Faserung ist. Anders herum
heißt X kofibrant, wenn der initiale Morphismus ∅ → X eine Kofaserung ist.
Bemerkung 5.5. In jeder Modellkategorie M lässt sich zu einem Objekt X der terminale
Morphismus X → pt nach Axiom M5 funktoriell faktorisieren in eine schwache
Äquivalenz X → ˜X gefolgt von einer Faserung ˜X → pt. Man nennt dann ˜X eine
fibrante Ersetzung von X. Analog gibt es funktorielle kofibrante Ersetzungen in M.
Definition 5.6. Sei M eine Modellkategorie. Dann nennt man die Kategorie, die
man durch Lokalisierung an der Klasse der schwachen Äquivalenzen erhält, die Homotopiekategorie
HoM von M.
Zu Lokalisierungen von kleinen Kategorien siehe etwa [Mac71, Kapitel II.8, Proposition
1, S. 51]. Es ist ein Satz, dass man für Modellkategorien stets (mit Hilfe fibranter
und kofibranter Ersetzungen) so lokalisieren kann, dass man nicht zu einem größeren
Universum übergehen muss, siehe z.B. [GJ99, Kapitel I.1, Theorem 1.11, S. 81].
Als Beispiel, und da wir später die geometrische Realisierung einer simplizialen
Menge zur Definition der Modellstruktur auf simplizialen Mengen benötigen, betrachten
wir eine Modellkategorie von CW-Komplexen.
Beispiel 5.7. Sei M die Kategorie der kompakt erzeugten Hausdorffräume. Diese
ist vollständig und kovollständig (mit dem Kelley-Produkt anstelle des kartesischen
Produkts). Wir nennen eine Abbildung Faserung, wenn sie die linke Liftungseigenschaft
bezüglich aller Inklusionen S n ↩→ D n hat. Wir nennen eine Abbildung Kofaserung,
wenn sie einen relativen CW-Komplex definiert (also zerlegt werden kann in eine Sequenz
von Anklebungen von Zellen). Wir nennen eine Abbildung schwache Äquivalenz,
wenn sie Isomorphismen auf allen (klassischen) Homotopiegruppen induziert. Dann ist
damit eine Modellstruktur auf M definiert, die man Serre-Modellstruktur nennt.
Definition 5.8. Hat C ein finales Objekt pt, so heißt für ein Objekt X in C ein
Morphismus ∗ : pt → X auch Basispunkt und (X, ∗) heißt punktiert. Damit ist
die Kategorie C ∗ der punktierten Objekte von X definiert, mit Morphismen die
Morphismen von C, die mit den Basispunkten kommutieren. Wir schreiben für das
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