TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
10TS19-HungYen.tex
C
E
A
O
H
B
M
D
a) Vì M là trung điểm của AD ⇒ OM ⊥ AD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
⇒ Điểm M, H cùng nhìn OD dưới một góc 90 ◦ .
⇒ Tứ giác OHMD là tứ giác nội tiếp. Nên bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
b) Kéo dài MH cắt BC tại E.
Xét tam giác vuông ADH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD.
⇒ HM = 1 2 AD = MD ⇒ △MHD cân tại M ⇒ ̂MHD = ̂MDH = ÂDC.
Lại có ÂDC = ÂBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
̂MHD = ĈHE (đối đỉnh) ⇒ ĈHE = ÂBC.
Xét tam giác vuông BCH có ÂBC + ĤCB = 90 ◦ .
⇒ ĈHE + ĤCB = 90 ◦ ⇒ △CHE vuông tại E. Suy ra HE ⊥ BC.
Vậy MH ⊥ BC.
□
Câu 6. Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
A =
x 2 + y 2 + 2
y 2 + z 2 + 2
z 2 + x 2 − x3 + y 3 + z 3
.
2xyz
Lời giải.
Ta có
A =
=
2
x 2 + y 2 + 2
y 2 + z 2 + 2
z 2 + x 2 − x2
2yz − y2
2xz − z2
2xy
Ç å Ç å Ç å
2
x 2 + y 2 − z2 2
+
2xy y 2 + z 2 − z2 2
+
2yz x 2 + z 2 − z2
.
2xz
Áp dụng định lý Cô-Si, ta có
0 < 2xy ≤ x 2 + y 2 , (x, y > 0) ⇒ z2
2xy ≥
⇒
z2
x 2 + y 2
2
x 2 + y 2 − z2
2xy ≤ 2
x 2 + y 2 −
z2
x 2 + y 2 = 2 − z2
x 2 + y 2 = x2 + y 2
x 2 + y 2 = 1.
105