TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
EX_THCS06.tex
Lời giải.
A
M
H
O
C
D
B
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
Ta có ÔAM = ÔBM = 90 ◦ (do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Xét tứ giác OAMB có ÔAM + ÔBM = 180 ◦ ⇒ tứ giác OAMB nội tiếp.
b) Chứng minh MB 2 = MC · MD.
Xét tam giác MBC và tam giác MDB có
• ̂BMD chung.
• ̂MBC = ̂MDB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung BC).
⇒ △MBC ∽ △MDB (g.g) ⇒ MB
MD = MC
MB ⇒ MB2 = MC · MD.
c) Gọi H⎧là giao điểm của AB và OM. Chứng minh AB là phân giác của ĈHD.
⎪⎨ MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Ta có
⎪⎩ OA = OB = R
⇒ OM là trung trực của AB ⇒ OM ⊥ AB.
Xét tam giác vuông OMB có MB 2 = MH · MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà MB 2 = MC · MD (cmt) ⇒ MH · MO = MC · MD ⇒ MC
MO = MH
MD .
MC
MH
Xét △MCH và △MOD có ÔMD chung và
=
MO
MD
(cmt)
⇒ △MCH ∽ △MOD (c.g.c) ⇒ ̂MHC = ̂MDO (hai góc tương ứng). (1)
Mà ̂MHC + ÔHC = 180 ◦ ⇒ tứ giác OHCD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng
180 ◦ ).
⇒ ÔHD = ÔCD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD). (2)
Mà ÔCD = ÔDC = ̂MDO (tam giác OCD cân tại O). (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ ̂MHC = ÔHD ⇒ 90 ◦ − ̂MHC = 90 ◦ − ÔHD ⇒ ĈHB = ̂BHD.
Vậy BH là tia phân giác của góc ĈHD hay AB là tia phân giác của góc ĈHD.
□
47