TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
10TS19-PhuTho.tex
Câu 4. Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn a 2018 + b 2018 = a 2020 + b 2020 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P = (a + 1) 2 + (b + 1) 2 .
Lời giải.
Ta có P ≤ 2(a 2 + 1) + 2(b 2 + 1) = 2(a 2 + b 2 ) + 4.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
a 2020 + a 2020 + · · · + 1 + 1 ≥ 2020a 2018 (có 2018 số a 2020 )
b 2020 + b 2020 + · · · + 1 + 1 ≥ 2020b 2018 (có 2018 số b 2020 ).
Suy ra
2018(a 2020 + b 2020 ) + 4 ≥ 2020(a 2018 + b 2018 ).
Kết hợp với giả thiết ta có
2018(a 2020 + b 2020 ) + 4 ≥ 2020(a 2018 + b 2018 )
⇔ 2018(a 2018 + b 2018 ) + 4 ≥ 2020(a 2018 + b 2018 )
⇔ a 2018 + b 2018 ≤ 2.
Áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô-si, ta có
a 2018 + 1 + 1 + · · · + 1 ≥ 1009a 2 (có 1008 số 1)
b 2018 + 1 + 1 + · · · + 1 ≥ 1009b 2 (có 1008 số 1).
Do đó
Từ đó ta có
1009(a 2 + b 2 ) ≤ 2016 + a 2018 + b 2018 ≤ 2018 ⇒ a 2 + b 2 ≤ 2.
P ≤ 2(a 2 + b 2 ) + 4 ≤ 2 · 2 + 4 = 8.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 8 khi và chỉ khi a = b = 1.
□
150