TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
10TS19-VinhPhuc-TL-TN.tex
cắt các đoạn AB, AC tại các điểm thứ hai tương ứng là M, N. Tia OM cắt (O, R) tại điểm P . Gọi H là
trực tâm của tam giác AOP . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMON là hình chữ nhật.
b) Tứ giác P HOB nội tiếp được trong một đường tròn và OH · P C
AC
các điểm B, C.
không phụ thuộc vào vị trí của
c) Xác định vị trí của các điểm B, C sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
Lời giải.
P
E
A
M
H
N
B O F
C
a) Ta có ̂BAC = 90 ◦ (do A thuộc đường tròn đường kính BC).
Ta có ÂMO = ÂNO = 90 ◦ (do M, N thuộc đường tròn đường kính AO).
Tứ giác AMON có ̂BAC = ÂMO = ÂNO = 90 ◦ nên AMON là hình chữ nhật.
b) Tam giác AOP cân tại O có OH là đường cao nên OH đồng thời cũng là đường phân giác của
ÂOP ⇒ ̂P OH = ÂOH = 1 2ÂOP .
1
Mà ÂBP = (quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AP của đường tròn
2ÂOP
(O)).
Nên ta có ÂBP = ̂P OH hay ĤBP = ̂P OH.
Mặt khác B, O là hai đỉnh kề nhau của tứ giác P HOB nên suy ra tứ giác P HOB nội tiếp đường
tròn.
Ta có:
ÂCP = ÂBP (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AP của đường tròn (O))
ÂBP = ĤOP (chứng minh trên)
239