TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
10TS19-DakLak.tex
c) Chứng minh HE + HD = BE + CD.
d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh AI ⊥ DE.
Lời giải.
A
45 ◦
I
D
E
H
B
C
a) Theo giả thiết ̂BDC = ̂BEC = 90 ◦ . Khi đó tứ giác BECD có đỉnh E và D cùng nhìn cạnh BC
dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác BECD nội tiếp.
b) Tứ giác BECD nội tiếp nên ÂED = ÂCB (cùng bù với ̂BED).
Xét △ADE và △ABC có ÂED = ÂCB và A “ chung nên △ADE ∽ △ABC.
Do đó AD
DE = AB ⇔ DE · AB = BC · AD.
BC
Từ AD
DE = AB
BC ⇒ DE
BC = AD
AB .
Vì △ABD vuông tại D nên ta có
DE
BC = AD
√
2
AB = cos ̂BAD = cos 45 ◦ =
2 .
c) △ABD vuông tại D và ̂BAD = 45 ◦ nên ÂBD = 45 ◦ ⇒ ÊBH = 45 ◦
⇒ △EBH vuông cân tại E ⇒ HE = BE (1).
Chứng minh tương tự △CDH vuông cân tại D ⇒ HD = CD (2).
Từ (1) và (2) suy ra HE + HD = BE + CD.
d) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC nên I là giao điểm của ba đường trung trực △ABC.
Ta có I thuộc trung trực của AC; E thuộc trung trực của AC (vì △AEC vuông cân tại E) suy ra
EI ⊥ AC ⇒ EI ⊥ AD (3).
Chứng minh tương tự DI ⊥ AB ⇒ DI ⊥ AE (4).
Từ (3) và (4) suy ra I là trực tâm của △AED ⇒ AI ⊥ DE.
56