TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
10TS19-ThuaThienHue-TL.tex
Câu 9. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trên cạnh AC (M không trùng A và C). Một
đường thẳng đi qua điểm M cắt cạnh BC tại I và cắt đường thẳng AB tại N sao cho I là trung điểm
của đoạn thẳng MN. Đường phân giác trong của góc ̂BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN
tại điểm D (D không trùng A). Chứng minh rằng:
a) DN = DM và DI ⊥ MN.
b) Tứ giác BNDI nội tiếp.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di
chuyển trên cạnh AC.
Lời giải.
A
N
B
I
J
H
M
C
D
a) Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, ta có ̂NAD là góc nội tiếp chắn cung ND, ⌢
̂DAM là
góc nội tiếp chắn cung MD.
⌢
Mà ̂NAD = ̂DAM (do AD là tia phân giác góc ̂BAC).
Nên sđ ND ⌢
= sđ MD ⌢
⇒ ND ⌢
= MD ⌢
⇒ ND = MD.
Trong đường tròn ngoại tiếp ∆AMD, I là trung điểm của dây MN ⇒ IN = IM mà DN = DM.
Suy ra I, D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Do đó DI ⊥ MN.
b) Gọi H là giao điểm của BC và AD, J là giao điểm của MN và AD.
Ta có ∆ABC cân tại A có đường phân giác AD đồng thời là đường cao nên AD ⊥ BC.
Hai tam giác vuông DIJ và IHJ(Î = H “ = 90 ◦ ) có Ĵ chung nên ∆DIJ ∼ ∆IHJ
Suy ra ÎDJ = ĴIH mà ĴIH = ̂BIN (đối đỉnh) nên ÎDJ = ̂BIN(1).
Mặt khác
ÂNM = ÂDM (góc nội tiếp cùng chắn cung
Từ (1) và (2) suy ra
⌢
AM) (2)
223