TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
10TS19-HauGiang.tex
Câu 8. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
a
2 + bc + b
2 + ca + c
2 + ab .
Lời giải.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c. Khi đó
(a − b) [a(a − c) − b(b − c)] + c(c − a)(c − b) ≥ 0
hay
a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ 0. (1)
Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc, ta có
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq − 3r, (2)
a 3 + b 3 + c 3 = p 3 − 3pq + 3r. (3)
Từ (1) ta có
a 3 + b 3 + c 3 + 3abc − ab(a + b) − bc(b + c) − ca(c + a) ≥ 0. (4)
Thay (2) và (3) vào (4), ta được
9r ≥ p Ä 4q − p 2ä . (5)
Mặt khác, ta có
p 2 − 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) − 2 = 2q. (6)
Thay (6) vào (5), ta được
9r ≥ p Ä 2p 2 − 4 − p 2ä = p 3 − 4p. (7)
Ta có
2S = a ·
2 + bc − bc
2 + bc
= (a + b + c) − abc
2 + ca − ca 2 + ab − ab
+ b · + c ·
2 + ca 2 + ab
Å 1
2 + ab + 1
2 + bc + 1 ã
.
2 + ca
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
nên
1
2 + ab + 1
2 + bc + 1
2 + ca ≥ 9
6 + ab + bc + ca ,
2S ≤ p −
9r
6 + q .
Nếu p ≤ 2 thì 2S ≤ 2 hay S ≤ 1. Xét p > 2, kết hợp (7), ta được
p −
9r
6 + q ≤ p − p3 − 4p
= − (p − 2) ( p 2 + 4p − 10 )
6 + p2 − 2
p 2 + 10
2
+ 2 < 2 (do p > 2).
Do đó ta luôn có S ≤ 1. Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 1, c = 0 hoặc các hoán vị. Vậy giá trị lớn nhất
của S là 1.
□
92