TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
EX_THCS06.tex
(c) Kẻ đường kính BF của đường tròn (O). Gọi P là trung điểm của AC. Chứng minh rằng ba
điểm H, P , F thẳng hàng.
Lời giải.
a)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có
C
BC 2 = AB 2 + AC 2 .
⇒ AC = √ BC 2 − AB 2 = √ 13 2 − 5 2 = 12cm.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
ta được BA 2 = BH · BC hay BH = AB2
BC = 25
13 cm.
Ta có: cos HBK = cos ABC = AB
BC = 5 13 .
Vậy AC = 12cm, BH = 25
13 cm và cos HBK = 5 13 . A
K
H
B
b)
(a) Do ĤEC = ĤDC = 90 ◦ nên
ĤEC + ĤDC = 180 ◦ .
Do đó tứ giác HECD nội tiếp.
(b) Trong đường tròn (O) hai góc nội tiếp ÎBC
và ÎAC cùng chắn cung ÎC nên
A
E
P
K
F
ÎBC = ÎAC.
H
O
Mà ÎAC = 90 ◦ − ÂCB = ĈBK nên
ÎBC = ̂KBC.
B
D
C
Từ đó ĈI = ¯CK hay CI = CK.
Vậy tam giác CIK cân tại C.
I
(c) Trong đường tròn (O) có đường kính BF nên ̂BAF = ̂BCF = 90 ◦ hay BA ⊥ AF và BC ⊥ F C.
Trong tam giác ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC
hay AH ⊥ BC và CH ⊥ AB.
Từ BA ⊥ AF và CH ⊥ AB ta thu được CH ∥ AF . Tương tự thì AH ∥ CF .
Do đó tứ giác AHCF là hình bình hành. Điều này kéo theo AC và F H cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường, tức là F, P, H thẳng hàng.
□
128