TUYỂN TẬP 55 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN CÓ LỜI GIẢI

Facebook “Nhóm Toán và LaTeX”
EX_THCS06.tex
□
Câu 8. Cho n là số tự nhiên khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Q = 1 + 1 1 2 + 1 2 2 + 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 + 1 3 2 + 1 4 2 + · · · + 1 + 1 n 2 + 1
(n + 1) 2 + 101
n + 1 .
Lời giải.
Ta có
√
1 + 1 Å
n 2 + 1
1
(n + 1) 2 = 1 +
n − 1 ã 2
+
n + 1
Ã
ñ ô 2
1
= 1 +
+
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
n(n + 1)
=
à ñ
1 +
= 1 +
ô 2
1
n(n + 1)
1
n(n + 1) = 1 + 1 n − 1
n + 1 .
Do đó
Å
Q = 1 + 1 1 − 1 ã Å
+ 1 + 1 2 2 − 1 ã Å
+ 1 + 1 3 3 − 1 ã Å
+ · · · + 1 + 1 4
n − 1 ã
+ 101
n + 1 n + 1
= n + 1 − 1
n + 1 + 101
n + 1 = n + 1 + 100
n + 1 .
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có
Q = n + 1 + 100
n + 1 ≥ 2 (n + 1) · 100
n + 1 = 20.
Dấu đẳng thức xảy ra khi n + 1 = 100
n + 1 ⇔ n = 9.
Vậy min Q = 20 khi n = 9.
□
57