Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETMéthode directeLa méthode directe décrite par Rue [106] utilise les propriétés de la matrice decovariance Q, qui est une matrice symétrique définie positive, et les propriétés desvecteurs gaussiens. En utilisant la factorisation de Cholesky, il existe une matrice Ltriangulaire inférieure telle que :Q=LL T .(IV.59)La transformation d’un vecteur Gaussien centré réduit I par une transformation detype x↦Ax+B est un vecteur Gaussien de moyenne B et de matrice de covarianceAA T . En utilisant ces deux propriétés, une transformation pour le vecteur U ∼N N (µ,Σ), U↦ L T (U−µ)=Z U permet d’avoir un vecteur Gaussien centré réduitZ U ∼N N (0 N ,I N×N ). En effet :E[Z U ]=E[L T (U−µ)]=L T E[U−µ]=0V[Z U ]=V[L T (U−µ)]=L T Σ U L=L T Q −1 L=I N×NDonc pour simuler U, il suffit de simuler Z U et de résoudre l’équation :Z U =L T (U−µ)(IV.60)Supposons, pour simplifier, que µ=0 N . La résolution se fait d’une manière itérative :U N = Z NL N,NNous avons la propriété suivante :Propriété IV.2 (Cholesky) :U n = Z n− 1 N∑ L j,n U j ∀n=N−1,..,1L n,n L n,n j