ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

More documents

Recommendations

Info

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESUne chaîne de Markov est dite homogène si les transitions p(x n+1 ∣x n ) ne dépendentpas de n. La loi d’une chaîne de Markov homogène est alors entièrement déterminéepar sa loi initiale p(x 1 ) et les transitions p(x n+1 ∣x n ). On dit qu’une chaîne de Markovest stationnaire si elle est homogène et si la loi marginale p(x n ) ne dépend pasde n. La loi initiale est alors appelée loi invariante ou stationnaire. Notons qu’il estpossible de factoriser la loi d’une chaîne de Markov selon son graphe d’indépendanceconditionnelle. En effet, si X est une chaîne de Markov admettant pour graphe d’indépendanceconditionnelle (I.4), nous obtenons avec la propriété de Markov globale :X N et X 1∶N−2 sont indépendants conditionnellement à X N−1 :p(x 1∶N )=p(x 1∶N−2 ∣x N−1 )p(x N ∣x N−1 )(I.12)par récurrence sur la chaîne X 1∶N−2 nous obtenons alors :N−1p(x 1∶N )=p(x 1 )∏n=1p(x n+1 ∣x n )(I.13)Dans toute la suite, on notep i pour désigner p(x 1 =ω i ), etP=(p i,j ) k×k pour désignerla matrice des transitions p i,j =p(x n+1 =ω i ∣x n =ω j ).Dans toute la suite nous serons amenés à effectuer des simulations des réalisationsdes chaînes de Markov. Ces simulations se font directement : il suffit de fixer la loiinitiale p i et la matriceP. Nous commençons par simuler x 1 , ensuite pour tout n,on effectue un tirage aléatoire de x n selon sa loi p(x n ∣x n−1 ) conditionnelle à x n−1 .ExempleConsidérons l’exemple de simulation suivant. Nous simulons une chaîne X detaille N= 128×128 à deux étatsX={ω 1 ,ω 2 }, dont la loi admet pour matrice detransitionP :0.98 0.02P=(0.02 0.98 )La loi invariante correspond au vecteur propre gauche associé à la valeur propre 1de la matriceP. Le vecteur ligne π d’éléments p i correspondant à la loi invarianteet est obtenu en résolvant l’équation matricielle :πP=π.(I.14)Dans le cas de la matriceP, la loi invariante est donnée par π=( 1 2 , 1 2 ).Pour visualiser la chaîne simulée sous forme d’une image 2-D, nous allons représenterla réalisation par le parcours d’Hilbert-Peano. Le parcours d’Hilbert-Peano [7,83] est souvent utilisé en traitements d’images [110] dans le but de transformerdes données bidimensionnelles en données monodimensionnelles. Le parcoursest représenté par la figure (I.5). L’avantage de cette transformation est qu’elle permetde garder deux points, voisins dans la chaîne, voisins dans l’image. Cependant,deux points voisins dans l’image peuvent ne pas l’être dans la chaîne [7]. D’autrestypes de transformations sont connus dans la littérature comme la transformationen ligne ou en colonne, ou encore la transformation de Hilbert, qui ressemble à celuide Hilbert-Peano.12
CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESFigure I.5 – Construction du parcours d’Hilbert PéanoFigure I.6 – Exemple de simulation d’une chaîne de Markov : image obtenue avectransformation d’Hilbert-PéanoDéfinition I.8 Soit(X,Y)=(X n ,Y n ) 1∶N un processus aléatoire couple où les X nprennent leurs valeurs dans un espace discretX ={ω 1 ,...,ω K } et les Y n sont àvaleurs dansY = R.(X,Y) est appelée "chaîne de Markov cachée à bruit indépendant"(CMC-BI), si X est une chaîne de Markov, et la densité de la loi du Yconditionnellement à X=x vérifie :◻ les Y n sont indépendants conditionnellement à X 1∶N :p(y 1∶N ∣x 1∶N )=N∏n=1p(y n ∣x 1∶N )(I.15)◻∀n∈[1,..,N]p(y n ∣x 1∶N )=p(y n ∣x n )(I.16)13
Page 1: École Doctorale SMPCThèse présen
Page 6 and 7: ABSTRACTis to extend these models t
Page 9 and 10: Table des matièresRésumé . . . .
Page 11 and 12: NotationsSymbolesN Nombre des obser
Page 13 and 14: IntroductionNotre travail se situe
Page 15 and 16: INTRODUCTIONgénéral que le modèl
Page 17 and 18: Chapitre IModèles de Markov Classi
Page 19 and 20: CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLAS
Page 23: CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLAS
Page 35: CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLAS
Page 38 and 39: CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUP
Page 53 and 54: Chapitre IIIEstimation des paramèt
Page 55 and 56: CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAM
Page 67: CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAM
Page 70 and 71: CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIP
Page 72 and 73: CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIP
Page 74 and 75:
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIP
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
Page 92 and 93:
Page 94 and 95:
Page 96 and 97:
•••••••CHAPITRE IV. M
Page 98 and 99:
Page 100 and 101:
Page 102 and 103:
Page 104 and 105:
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLE
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 135:
Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
Page 139 and 140:
Annexe CVecteurs gaussiensDéfiniti
Page 141 and 142:
Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
Page 143 and 144:
BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
Page 145 and 146:
BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
Page 147 and 148:
BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
show all

ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?