Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESdonne :C[(X n ,X n+1 )∣y 1∶n ] = E[(X n − E[X n ∣y 1∶n ])(X n+1 − E[X n+1 ∣y 1∶n ])]= E[(X n −m n )(X n+1 −m − n+1)]= E[(X n −m n )(FX n +ǫ n −Fm n )]= F E[(X n −m n ) 2 ]= FP n= C nEn utilisant la propriété du calcul de loi conditionnelle pour les vecteurs gaussiens,nous pouvons en déduire la moyenne m + n et la variance P + n de X n ∣x n+1 y 1∶n :m + n=m n +C n [x n+1 −m − n+1][P − n+1] −1P + n=P n −C n [P − n+1] −1 C T nDe même, nous pouvons en déduire la loi du x n ∣y 1∶N :(I.41)(I.42)L ∗ n=FP n P −1n+1 (I.43)ce qui était notre objectif.m ∗ n=m n +L ∗ n[m ∗ n+1−m − n+1]P ∗ n=P n −L ∗ n[P ∗ n+1−P − n+1](L ∗ n) T(I.44)(I.45)ExempleDans cet exemple nous simulons des réalisations d’un système linéaire gaussienqui a comme dynamique le système (I.34), et nous présentons des résultats de filtragepar le filtre de Kalman et de lissage RTS. Les paramètres de simulation sont présentésdans la table 1.1.Paramètres Valeurm 1 0V 1 1F 1R 1m y 0H 2Q 0.1Table I.1 – Paramètres de simulationLes réalisations x 1∶N et y 1∶N sont représentées sur la figure (I.10) avec N= 100.La courbe supérieure est celle de y 1∶N et la courbe inférieure est celle de x 1∶N . Surla figure (I.11) on trouve l’estimation̂x 1∶N à partir de l’observation y 1∶N (a) estl’estimation avec le filtre de Kalman et (b) l’estimation par le lissage RTS.20