Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETX U Y XrFigure IV.29 – Simulation du champ triplet(X,U,Y) et restauration en modesuperviséPour calculer la loi p(x n ∣y 1∶N ), nous calculons en premier lieu le vecteur moyende U 1∶N conditionnellement à y 1∶N ainsi que l’inverse de la matrice de covariance , quisont donnés par les équations (IV.72) et (IV.73). Une fois nous avons le vecteur µ ∗ etla matrice Σ −1,∗ =Q ∗ , la loi p(u n ∣y 1∶N ) est une gaussienne dont la moyenne et la variancesont respectivement µ ∗ n et Σ ∗ n,n. En second lieu, nous utilisons l’approximationde Laplace (voir annexe (B)) pour approcher l’intégrale sur u de p(x n ∣u n )p(u n ∣y 1∶N )qui à la forme suivante :avec M=1 et f(u) est donné par :I=∫ Rexp[Mf(u)]du,2f(u)=a i u+b i −log( ∑exp(a j u+b j ))− (u−µ∗ n) 2j=1 2πΣ ∗ n,n−log( √ 2πΣ ∗ n,n)La fonction f admet un développement de Taylor en u ∗ ( qui est un optimum calculéà partir des paramètres a i ,b i ,µ ∗ n et Σ ∗ n,n ) à l’ordre 2 :f(u)≃ 1 2 f′′ (u ∗ )(u−u ∗ ) 2 +f(u ∗ )97