CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENS1. p(x n+1 ∣x n ,y 1∶n )=p(x n+1 ∣x n );2. p(y n+1 ∣x n ,x n+1 ,y 1∶n )=p(y n+1 ∣x n+1 ,y 1∶n );3. p(y n+1 ∣x n+1 =ω i ,y 1∶n )=q i (y n+1 ∣y 1∶n ).Notons que dans une CMC-BC la chaîne cachée X est markovi<strong>en</strong>ne. La loi d’uneCMC-BG est ainsi donnée par la loi <strong>de</strong> X et K lois <strong>de</strong>s K processus gaussi<strong>en</strong>sdéfinies par les lois p(y 1∶n+1 ∣x n+1 = ω 1 ), ..., p(y 1∶n+1 ∣x n+1 = ω K ), ces <strong>de</strong>rnières étantdonnées par les K lois gaussi<strong>en</strong>nes, correspondant aux K classes, du vecteur Y 1∶N .Notons égalem<strong>en</strong>t que le point 2. n’est pas indisp<strong>en</strong>sable; cep<strong>en</strong>dant, on simplifielégèrem<strong>en</strong>t le modèle pour le r<strong>en</strong>dre plus "parlant" (dans la version simplifiée l<strong>en</strong>ombre <strong>de</strong>s bruitages gaussi<strong>en</strong>s différ<strong>en</strong>ts correspond au nombre <strong>de</strong>s classes).Les quantités p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) sont alors calculables dans une récurr<strong>en</strong>ce préalableprogressive. En effet, les moy<strong>en</strong>nes̃m xn+1 et les variances̃γ xn+1 <strong>de</strong>s loisp(y n+1 ∣x n+1 ,y 1∶n )peuv<strong>en</strong>t être calculées par les récurr<strong>en</strong>ces suivantes. On pose y 1 ∣x 1 ∼N(m x1 ,γ x1 (0))et pour tout 1≤n≤N− 1, y n+1 ∣x n+1 ∼N(m xn+1 ,γ xn+1 (0)). Les matrices d’autocorrélationcorrespondant aux K lois gaussi<strong>en</strong>nes du vecteur Y 1∶N sont donc supposéesconnues :Γ n+1x n+1=⎛⎜⎝γ xn+1 (0) γ xn+1 (1) ... γ xn+1 (n)γ xn+1 (1) γ xn+1 (0) ... γ xn+1 (n−1)⋮ ⋮ ⋱ ⋮γ xn+1 (n) γ xn+1 (n−1) ... γ xn+1 (0)⎞⎟⎠=( Γn x n+1 Γ 2,1x n+1Γ 1,2x n+1γ xn+1 (0) )En utilisant les propriétés <strong>de</strong> vecteurs gaussi<strong>en</strong>s (voir Annexe C), nous obt<strong>en</strong>ons :̃m xn+1 =m xn+1 +Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 (y 1∶n −m n x n+1)(V.11)̃γ xn+1 =γ xn+1 −Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 Γ 1,2x n+1(V.12)avecm n x n+1=(m xn+1 ,...,m xn+1 ). Nous pouvons égalem<strong>en</strong>t calculer les lois gaussi<strong>en</strong>nesn foisp(y 1∶n+1 ∣x 1∶n+1 )∼N(M x1∶n+1 ,Γ x1∶n+1 ) par récurr<strong>en</strong>ce :● Initialisation :M x1 =m x1 et Γ x1 =γ x1 (0)●∀ 2≤n≤NM x1∶n+1 =(M x1∶nm xn+1 +Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 [M x1∶n −m n x n+1] ) et(V.13)Γ x1∶n+1 =(Γ x1∶n Γ x1∶n (Γ n x n+1) −1 Γ 1,2x n+1Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 Γ x1∶n γ xn+1 (0)+Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 [Γ x1∶n (Γ n x n+1) −1 Γ 1,2x n+1−Γ 1,2(V.14)Le modèle CMC-BG est général dans la mesure où les matrices <strong>de</strong>s covariance ci<strong>de</strong>ssussont quelconques. Lorsque ces matrices définiss<strong>en</strong>t <strong>de</strong>s distributions gaussi<strong>en</strong>nes« à mémoire longue », on obti<strong>en</strong>t le modèle « chaîne <strong>de</strong> <strong>Markov</strong> cachée pardu bruit gaussi<strong>en</strong> à mémoire longue » (CMC-GML) :104x n+1] )
CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSDéfinition V.6 Une CMC-BG est dite « chaîne <strong>de</strong> <strong>Markov</strong> cachée par du bruitgaussi<strong>en</strong> à mémoire longue » (CMC-GML) si les K lois gaussi<strong>en</strong>nes, correspondantaux K classes, du vecteur Y 1∶N sont à mémoire longue.Les <strong>de</strong>ux modèles sont <strong>de</strong>s « chaînes <strong>de</strong> <strong>Markov</strong> cachées » car l’hypothèse 1.implique immédiatem<strong>en</strong>t la markovianité du processus caché X.Ainsi dans le modèle CMC-BG nous pouvons calculer les quantitésp(z n+1 ∣z n ,y 1∶n−1 )nécessaires pour faire <strong>de</strong> la <strong>restauration</strong> <strong>de</strong>s données manquantes. Notons que cestransitions se prés<strong>en</strong>t<strong>en</strong>t sous forme simplifiée :p(z n+1 ∣z n ,y 1∶n−1 )=p(x n+1 ∣x n )p(y n+1 ∣x n+1 ,y 1∶n )(V.15)Dans certains cas où les corrélations sont paramétrisées, il est possible d’appliquerune version ét<strong>en</strong>due <strong>de</strong> l’ICE pour estimer les paramètres. Cep<strong>en</strong>dant, cetteadaptation n’est pas immédiate [65,73]. Nous revi<strong>en</strong>drons à cette question dans la<strong>de</strong>rnière section <strong>de</strong> ce chapitre, où l’ICE sera utilisée pour proposer <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s"semi-supervisées" <strong>de</strong> filtrage.Notons que le modèle CMC-BG prés<strong>en</strong>te un certain nombre <strong>de</strong> propriétés inhabituelles;<strong>en</strong> particulier, la loi <strong>de</strong> Y n conditionnelle à X 1 ,...,X n dép<strong>en</strong>d <strong>de</strong> tous lesX 1 ,...,X n .V.3 Modèle conditionnellem<strong>en</strong>t linéaire à sauts markovi<strong>en</strong>sDans cette section, nous proposons <strong>de</strong>s nouveaux modèles aléatoires <strong>triplets</strong>,qui permett<strong>en</strong>t <strong>de</strong> faire un calcul exact avec une complexité linéaire <strong>en</strong> nombred’observations <strong>de</strong> E[X n ∣y 1∶n ] et E[X n ∣y 1∶N ] <strong>en</strong> prés<strong>en</strong>ce <strong>de</strong> sauts aléatoires. La nouveautéconsiste dans la prise <strong>en</strong> compte, au sein <strong>de</strong> ces modèles <strong>triplets</strong>, <strong>de</strong>s modèlesCMC-BG brièvem<strong>en</strong>t rappelés dans la sous-section précé<strong>de</strong>nte. En particulier, nouspourrons donc utiliser les CMC-GML.Soi<strong>en</strong>t X =(X n ) 1∶N et Y =(Y n ) 1∶N <strong>de</strong>ux processus aléatoires. Pour tout 1≤n≤N, X n et Y n sont à valeurs dans l’<strong>en</strong>semble <strong>de</strong>s réels R. Soit R=(R n ) 1∶N unprocessus discret dont les composantes R n pr<strong>en</strong>n<strong>en</strong>t leurs valeurs dans un espacefini Ω={ω 1 ,...,ω K }. Nous supposons que Y 1∶N sont observées et que X 1∶N et R 1∶Nne le sont pas. Le problème est alors d’estimer les réalisations <strong>de</strong>s X 1∶N et R 1∶N àpartir <strong>de</strong>s réalisations <strong>de</strong> Y 1∶N .Dans la première sous-section ci-après nous rappelons le modèle classique etprécisons les difficultés du calcul exact <strong>de</strong>s quantités E[X n ∣y 1∶n ] et E[X n ∣y 1∶N ]. La<strong>de</strong>uxième sous-section est consacrée aux modèles réc<strong>en</strong>ts, par chaînes <strong>de</strong> <strong>Markov</strong><strong>triplets</strong>, permettant ce calcul avec une complexité raisonnable. Notre modèle estprés<strong>en</strong>té dans la troisième sous-section.V.3.1 Modèle ClassiqueLe modèle classique consiste à considérer que le processus <strong>de</strong>s sauts est markovi<strong>en</strong>,et conditionnellem<strong>en</strong>t aux sauts le couple(X,Y) est un système linéaire. Afin105