ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLEen utilisant l’hypothèse p(y n ∣x n−1 ,x n )=p(y n ∣x n ,x n+1 )=p(y n ∣x n ) nous pouvons calculerl’intégrale de∫ b(y 1∶N )d(y 1∶n−1 )d(y n+1∶N ) :Y N−1∫ Y N−1∏ N−1n=1 p(y n ,y n+1 ∣x n ,x n+1 )b(y 1∶N )d(y 1∶n−1 )d(y n+1∶N ) = ∫ d(yY N−1∏ N−11∶n−1 )d(y n+1∶N )n=2 p(y n ∣x n )∏ n−1i=1 p(y i ,y i+1 ∣x i ,x i+1 )= ∫ d(yY n−1∏ n−11∶n−1 )i=2 p(y i ∣x i )∏ N−1i=n p(y i ,y i+1 ∣x i ,x i+1 )×∫ d(yY N−n−1∏ N−1n+1∶N )i=n p(y i ∣x i )∏on a :∫ n−1i=1 p(y i,y i+1 ∣x i ,x i+1 )Y n−1∏ n−1∏ n−1i=2∫ p(y i,y i+1 ∣x i ,x i+1 )Y n−2∏ n−1i=3 p(y i∣x i )∏ N−1i=n∫ p(y i,y i+1 ∣x i ,x i+1 )Y N−n−1∏ N−1i=n p(y i∣x i )∏ N−2i=n∫ p(y i,y i+1 ∣x i ,x i+1 )Y N−n−2∏ N−2i=n p(y i∣x i ) ✭✭✭✭✭✭p(y N−1 ∣x N−1 ✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭)i=2 p(y i∣x id(y) 1∶n−1 )=∫ Y ✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭[∫ n−2 Yp(y 1 ,y 2 ∣x 1 ,x 2 )dy 1 ] ∏n−1✘ ✘ ✘dy 2∶n−1 =..=1, eti=2 p(y i,y i+1 ∣x i ,x i+1 )dy p(y 2 ∣x 2 )∏ n−1i=3 p(y i∣x i ) 2∶n−1=d(y n+1∶N ) =[∫ Yp(y N−1∶N ∣x N−1∶N )dy N ]d(y n+1∶N−1 )=..=p(y n ∣x n ,x n+1 )∫ Y N−1p(z)d(y 1∶n−1 )d(y n+1∶N )=p(x,y n )=p(x)p(y n ∣x n )En utilisant la formule de Bayes et le résultat précèdent p(y n ∣x) = p(x,y n)p(x)p(x)p(y n ∣x n )=p(y n ∣x n ), d’où 3.p(x)3⇒2 : nous avons :=p(y n ∣x n ,x n−1 ) = ∫ X N−2p(y n ,x 1∶n−2 ,x n+1∶N ∣x n ,x n−1 )d(x 1∶n−2 ,x n+1∶N )d’après 3, p(y n ∣x 1∶N )=p(y n ∣x n ) donc :d’où 2.p(y n ,x 1∶N )= ∫ X N−2 p(x n ,x n−1 ) d(x 1∶n−2,x n+1∶N )p(y n ∣x 1∶N )p(x 1∶N )= ∫ d(x 1∶n−2 ,x n+1∶N )X N−2 p(x n ,x n−1 )p(y n ∣x 1∶N )p(x 1∶N )p(y n ∣x n ,x n−1 ) = ∫ d(x 1∶n−2 ,x n+1∶N )X N−2 p(x n ,x n−1 )p(x 1∶N )= p(y n ∣x n )∫ X N−2 p(x n ,x n−1 ) d(x 1∶n−2,x n+1∶N )= p(y n ∣x n )D’après cette proposition, le fait que X soit une chaîne de Markov sachant que Z=(X,Y) est un CMCouple, est équivalent à p(y n ∣x)=p(y n ∣x n ) pour tout n∈{1,..,N}.Prenons un exemple concret de la nature pour interpréter cette propriété. Soit uneimage numérique où chaque pixel peut être "eau" ou "forêt", et supposons que la29
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Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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