Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAMÈTRESalors l’espérance mathématique de cet estimateur est calculable à chaque itérationet nous obtenons c q+1i,jpar :c q+1i,j= ∑N−1n=1 ϕ n (i,j,θ q ). (III.53)N−1Le deuxième sous ensembles des paramètres est constitué par les paramètresde la loi conditionnelle de(Y n ,Y n+1 ) sachant(X n+1 ,X n ). Dans le cas gaussien, cesparamètres correspondent au vecteur moyen conditionnel m i,j et au matrice de covarianceconditionnelle Γ i,j . Comme estimateur empirique de vecteur moyen nouschoisissons :̂m i,j = ∑N−1 n=1(y n∶n+1 )1[x n∶n+1 =(ω i ,ω j )], (III.54)∑ N−1n=1 1[x n∶n+1 =(ω i ,ω j )]et pour la matrice de co-variance :̂Γ i,j = ∑N−1 n=1(y n∶n+1 −̂m i,j )(y n∶n+1 −̂m i,j ) T 1[x n∶n+1 =(ω i ,ω j )]. (III.55)∑ N−1n=1 1[x n∶n+1 =(ω i ,ω j )]Comme dans les cas précédents, le calcul des espérances conditionnelles de ces estimateursn’est pas possible et on utilise les simulations des réalisations de la chaînecachée selon sa loi conditionnelle aux observations.III.3.4 Exemple numériqueComme application, nous utilisons l’algorithme ICE pour estimer les paramètresd’une chaîne de Markov cachée à bruit indépendant de taille N= 128×128. Nousappliquons l’algorithme dans une série d’expériences suivante. On fait varier d’uneexpérience à l’autre les paramètres de la chaîne ainsi que les paramètres du bruit.Les résultats de l’estimation sont représentés dans la table (III.1). Pour initialiserles paramètres du modèle nous utilisons l’algorithme des K-moyennes pour obtenirx 0 , et sachant ce x 0 et y 1∶N nous estimons θ 0 qui prise comme la valeur initiale pourθ. Pour chaque essai nous itérons 100 fois. Nous pouvons noter que l’estimation desparamètres du bruit reste de bonne qualité, même dans l’exemple 3 où le niveaudu bruit est important. L’estimation de la loi p(x n+1 ,x n ) semble moins robuste aubruit.Vrais paramètresParamètres estimésp 1 p 2 µ 1 σ1 2 µ 2 σ2 2 ̂p 1 ̂p 2 ̂µ 1 ̂σ1 2 ̂µ 2 ̂σ221 0.95 0.05 0.0 0.5 2.0 0.5 0.94 0.04 0.01 0.5 2.0 0.52 0.95 0.05 0.0 1.0 2.0 1.0 0.91 0.08 0.01 1.0 1.99 1.013 0.98 0.02 1.0 1.0 2.0 1.0 0.91 0.08 1.01 0.97 2.03 0.98Table III.1 – Estimation des paramètres par l’algorithme ICE dans le cas de modèleCMC-BI [p 1 =p(x n+1 =ω 1 ∣x n =ω 1 ) p 2 =p(x n+1 =ω 2 ∣x n =ω 1 )]La table (III.2) représente les taux d’erreur en pourcentage de la restauration dela chaîne X à partir de Y . La première colonne contient les taux d’erreur obtenusavec restauration en mode supervisé i.e sachant les vrais paramètres du modèle. Dans53