ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLEchaîne couple est une ligne de cette image. L’observation est alors le niveau de gris.Dans le modèle classique CMC nous avons p(y n ∣x)=p(y n ∣x n ), ce qui signifie quel’aspect visuel de la forêt (par exemple) ne peut pas dépendre des pixels ("eau" ou"forêt") se trouvant à côté, alors que cette possibilité existe dans les CMCouples.Ainsi les CMCouples permettent de prendre en compte les différences éventuellesdes aspects des pixels se trouvant près des frontières.Soit Z=(X,Y) une chaîne de Markov couple stationnaire et réversible (rappelonsque Z est dite stationnaire si p(z n+1 ,z n ) ne dépendent pas de n pour toutn∈{1,..,N−1}). La loi d’une chaîne de Markov couple stationnaire est complètementdéterminée par la loi du couple(z 2 ,z 1 )=(x 2 ,y 2 ,x 1 ,y 1 ). Pour exploiter laproposition (II.3), nous pouvons développer la loi de(Z 1∶2 ) sous plusieurs formesparticulières donnant lieu à autant de sous-modèles de CMCouple. Les différentsgraphes d’indépendance conditionnelle de ces modèles sont représentés sur la figure(II.1). Nous commençons par développer la loi p(z 1∶2 ) sous la forme suivante :CMC-BIp(z 1∶2 )=p(x 1∶2 )p(y 1∶2 ∣x 1∶2 )Dans ce premier modèle, nous supposons que les y n sont indépendants conditionnellementaux(x n ) 1∶N et que pour toute n, y n ne dépend que de x n . Le graphed’indépendance conditionnelle de ce modèle est (a) sur la figure (II.1). D’après laproposition (II.3), X est une chaîne de Markov. La loi du transition est donnée par :p(z 2 ∣z 1 )=p(x 2 ∣x 1 )p(y 2 ∣x 2 )(II.9)CMCDans le modèle précèdent, nous avons supposé que les y n sont indépendantsconditionnellement aux(x n ) 1∶N ce qui se traduit par l’absence des arêtes entre lesy n sur le graphe (a). Pour généraliser le modèle de CMC-BI nous supposons cettefois que les y n sont corrélés et nous gardons l’hypothèse p(y n ∣x n−1 ,x n )=p(y n ∣x n ).Pour cela nous ajoutons des arêtes entre les y n afin de modéliser cette dépendanceet nous obtenons le graphe (b). X est une chaîne de Markov et les transitions et laloi initiale de la chaîne couple sont données par :p(z 2 ∣z 1 )=p(x 2 ∣x 1 )p(y 2 ∣y 1 ,x 2 )p(z 1 )=p(x 1 )p(y 1 ∣x 1 )(II.10)(II.11)Avec le modèle CMC, nous pouvons modéliser la corrélation des observations avecun nombre réduit de paramètres.CMCouple-BIDans ce modèle nous supposons que les Y n sont indépendantes conditionnellementà X mais l’égalité p(y n ∣x n−1∶n )=p(y n ∣x n ) n’est pas vérifiée. D’après la proposition(II.3), X n’est pas une chaîne de Markov. En utilisant la formule de Bayespour développer la densité p(y n∶n+1 ∣x n∶n+1 ), on obtient :30p(y 1∶2 ∣x 1∶2 )=p(y 1 ∣x 1∶2 )p(y 2 ∣x 1∶2 )(II.12)
CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLEles transitions de la chaîne couple sont alors :p(z 2 ∣z 1 )=p(x 2 ∣z 1 )p(y 2 ∣x 1∶2 )(II.13)CMCoupleDans le modèle CMCouple général nous avons :p(y 1∶2 ∣x 1∶2 )=p(y 1 ∣x 1∶2 )p(y 2 ∣z 1 ,x 2 )(II.14)et la forme la plus générale des transitions est :p(z 2 ∣z 1 )=p(x 2 ∣z 1 )p(y 2 ∣z 1 ,x 2 )(II.15)Nous pouvons remarquer sur la figure (II.1) que les arêtes entre les sommets sonten nombre croissant d’un graphe à l’autre, ce qui illustre la richesse et la complexitécroissante des modèles considérés.y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3(a)(b)y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3(c) (d)Figure II.1 – Graphe d’indépendance conditionnelle des chaînes de Markov couple.(a) : CMC-BI; (b) : CMC; (c) : CMCouple-BI; (d) : CMCoupleII.2 Inférence dans le modèle coupleNous présentons dans cette sous-section l’extension de l’algorithme de Baum-Welsh, qui permet de calculer les probabilités a posteriori p(x n ∣y) et p(x n+1 ∣x n ,y)(avec y=y 1∶N ), aux modèles CMCouples. Lorsque le CMCouple est une CMC l’extensionredonne l’algorithme classique. Comme nous l’avons mentionné, ce calcul estde complexité comparable à celle de l’algorithme classique dans les CMC.II.2.1 Algorithme de Baum-WelshSoit Z=(X,Y) une chaîne de Markov couple (II.1), dont nous disposons desobservations y= y 1∶N du processus Y sur une grille de taille N. La loi de Z s’écrit31
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Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
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Annexe CVecteurs gaussiensDéfiniti
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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