Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

Table des matièresRésumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .iiiivviiixIntroduction 1I Modèles de Markov Classiques 5I.1 Modèle graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.1.1 Modèle graphique non orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.1.2 Modèle graphique orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.1.3 Factorisation d’une loi selon un graphe . . . . . . . . . . . . . . 10I.2 Chaîne de Markov cachée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.2.1 CMC à espace d’état discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2.2 Inférence Bayésienne dans la CMC discrète . . . . . . . . . . . . 14I.3 CMC à espace d’états continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.3.1 Inférence Bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.3.2 Filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.3.3 Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II Modèle de Markov Couple 25II.1 Chaîne de Markov Couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.2 Inférence dans le modèle couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.2.1 Algorithme de Baum-Welsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.2.2 Algorithme de Baum-Welsh conditionnel . . . . . . . . . . . . . 33II.2.3 Programmation dynamique : Algorithme de Viterbi . . . . . . . 34II.3 Etude comparative entre CMC-BI et CMCouples . . . . . . . . . . . . 36II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39IIIEstimation des paramètres 41III.1 L’algorithme EM et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.1.1 L’algorithme EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.1.2 Variantes de l’algorithme EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43III.2 Estimation Conditionnelle Itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.3.1 Mélange indépendant gaussien fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 46vii