Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

Chapitre IIModèle de Markov CoupleDans le modèle de chaîne de Markov cachée classique, nous supposons que lesdonnées cachées ont une structure markovienne p(x)=p(x 1 )∏ N−1n=1 p(x n+1 ∣x n ). D’unepart, cette hypothèse n’est pas toujours vérifiée dans le cas des données issues dumonde réel. D’autre part, il s’avère qu’elle n’est pas nécessaire pour la mise enoeuvre des traitements bayésiens discutés dans le chapitre précédent. Pour allégercette hypothèse et prendre en considération une situation plus générale Pieczynski[91,104] a proposé de remplacer l’hypothèse de la markovianité de processus X parla markovianité du couple(X,Y). Cette hypothèse permet d’assurer la markovianitéde X conditionnellement à Y qui est essentielle pour appliquer les algorithmes decalcul pour p(x n ∣y 1∶N ) et p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N ). Cependant, le processus caché peut êtremarkovien ou pas, ce qui mène à un modèle plus général. Ce nouveau modèle est dit« modèle de chaîne de Markov Couple » (CMCouple). Dans la suite, nous présentonsce modèle d’une manière détaillée ainsi que les algorithmes d’inférence Bayésiennequi permettent de calculer les probabilités a posteriori d’intérêt. Nous comparonségalement le CMCouple avec le modèle de CMC classique.II.1 Chaîne de Markov CoupleDans toute la suite, Z=(Z n ) n=1∶N désigne un processus aléatoire couple à tempsdiscret, où Z n =(X n ,Y n ), avec X n et Y n à valeurs dans un espace respectivementX etY. Dans le cas discretX est un espace finiX={ω 1 ,...,ω K }, et dans le cascontinu réelX= R. Sauf mention contraire, les Y n considérés seront réels :Y= R.Définition II.1 Un processus aléatoire couple Z est appelé « Chaîne de MarkovCouple » (CMCouple) si et seulement si il admet pour graphe d’indépendance conditionnellele graphe représenté par la figure (I.4).Bien entendu, une CMCouple vérifie alors les propriétés classiques que nous rappelonsci-dessous pour mémoire :Propriété II.1 Le processus Z vérifie les propriétés de Markov par rapport augrapheG :◻ Propriété de Markov globale : SoitB,C etDtrois sous ensembles deS deux àdeux disjoints, siC sépareB etDdansG alors :p(z B ,z D ∣z C )=p(z B ∣z C )p(z D ∣z C )(II.1)25