Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

INTRODUCTIONgénéral que le modèle de Markov couple. Pourtant, les mêmes traitements bayésienssont encore possibles. En effet, un MMT T =(X,U,Y) peut être vu comme unmodèle markovien couple T=(V,Y), avec V=(X,U). Il est alors possible d’estimersimultanément X et U.Notre travail concerne les modèles de Markov triplets. Plus particulièrement nousnous intéressons aux chaînes et aux champs de Markov triplet. Nous proposons troiscontributions :♢ Dans le cas des chaînes triplets avec la chaîne cachée discrète, nous proposonsun nouveau modèle dans lequel U soit une chaîne de Markov à espace d’étatcontinu [80];♢ Dans le cas des champs triplets avec le champ caché discret, nous proposonsun nouveau modèle de champ Triplet dans lequel U est champ Gaussien-Markovien;♢ Un modèle de chaînes de Markov triplets récent (2009) a permis de traiter, pardes méthodes directes et optimales, le problème de filtrage et de lissage en présencedes sauts. Nous généralisons ce modèle à un modèle original permettantde considérer des bruits à mémoire longue.Organisation du manuscritNotre manuscrit est composé de cinq chapitres, qui sont organisés comme suit :Le premier chapitre est consacré à des rappels et des définitions concernant lesmodèles graphiques et les chaînes de Markov cachées. En premier lieu, nous rappelonsles définitions des modèles graphiques orientés et non-orientés, qui servent en secondlieu à rappeler les modèles des chaînes de Markov cachées à espace d’états discret et àespace d’états continu. Pour chacun de ces modèles, nous donnons divers algorithmesclassiques d’inférence Bayésienne permettant de calculer p(x n ∣y) et p(x n ∣x n−1 ,y).Nous présentons également des exemples de simulations pour ces modèles.Dans le deuxième chapitre, nous introduisons les chaînes de Markov couples.Nous détaillons des algorithmes d’inférence Bayésienne : algorithme de Baum-Welsh,algorithme de Baum-Welsh conditionnel et l’algorithme de Viterbi. Ces algorithmespermettent de calculer les solutions bayésiennes MPM et MAP dans le cas de lasegmentation des observations y 1∶N . Nous procédons à une étude comparative entrela CMCouple et la CMC-BI en présentant des simulations originales.Dans les deux premiers chapitres, nous présentons divers algorithmes de traitementcorrespondant aux divers modèles paramétriques, dont les paramètres sontsupposés connus. Le troisième chapitre sera dédié au cas dans lequel ces paramètresne sont pas connus et doivent être estimés à partir des observations. Nous énonçonsd’abord les principes généraux de deux algorithmes généraux d’estimation des paramètres: algorithme Espérance-Maximisation (EM) [16, 20, 22, 34] et EstimationConditionnelle Itérative (ICE) [7,33,89,95]. Ensuite nous détaillons ces algorithmespour certains modèles traités dans les chapitres précédents. Enfin, nous présentonsune application numérique originale d’estimation des paramètres.Dans le quatrième chapitre, nous présentons les modèles de Markov triplets. Enpremier lieu, nous traitons le cas des chaînes de Markov Triplets (CMT) avec processusauxiliaire U discret, et nous détaillons différentes utilisations de ce processus3