Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLEchaîne couple est une ligne de cette image. L’observation est alors le niveau de gris.Dans le modèle classique CMC nous avons p(y n ∣x)=p(y n ∣x n ), ce qui signifie quel’aspect visuel de la forêt (par exemple) ne peut pas dépendre des pixels ("eau" ou"forêt") se trouvant à côté, alors que cette possibilité existe dans les CMCouples.Ainsi les CMCouples permettent de prendre en compte les différences éventuellesdes aspects des pixels se trouvant près des frontières.Soit Z=(X,Y) une chaîne de Markov couple stationnaire et réversible (rappelonsque Z est dite stationnaire si p(z n+1 ,z n ) ne dépendent pas de n pour toutn∈{1,..,N−1}). La loi d’une chaîne de Markov couple stationnaire est complètementdéterminée par la loi du couple(z 2 ,z 1 )=(x 2 ,y 2 ,x 1 ,y 1 ). Pour exploiter laproposition (II.3), nous pouvons développer la loi de(Z 1∶2 ) sous plusieurs formesparticulières donnant lieu à autant de sous-modèles de CMCouple. Les différentsgraphes d’indépendance conditionnelle de ces modèles sont représentés sur la figure(II.1). Nous commençons par développer la loi p(z 1∶2 ) sous la forme suivante :CMC-BIp(z 1∶2 )=p(x 1∶2 )p(y 1∶2 ∣x 1∶2 )Dans ce premier modèle, nous supposons que les y n sont indépendants conditionnellementaux(x n ) 1∶N et que pour toute n, y n ne dépend que de x n . Le graphed’indépendance conditionnelle de ce modèle est (a) sur la figure (II.1). D’après laproposition (II.3), X est une chaîne de Markov. La loi du transition est donnée par :p(z 2 ∣z 1 )=p(x 2 ∣x 1 )p(y 2 ∣x 2 )(II.9)CMCDans le modèle précèdent, nous avons supposé que les y n sont indépendantsconditionnellement aux(x n ) 1∶N ce qui se traduit par l’absence des arêtes entre lesy n sur le graphe (a). Pour généraliser le modèle de CMC-BI nous supposons cettefois que les y n sont corrélés et nous gardons l’hypothèse p(y n ∣x n−1 ,x n )=p(y n ∣x n ).Pour cela nous ajoutons des arêtes entre les y n afin de modéliser cette dépendanceet nous obtenons le graphe (b). X est une chaîne de Markov et les transitions et laloi initiale de la chaîne couple sont données par :p(z 2 ∣z 1 )=p(x 2 ∣x 1 )p(y 2 ∣y 1 ,x 2 )p(z 1 )=p(x 1 )p(y 1 ∣x 1 )(II.10)(II.11)Avec le modèle CMC, nous pouvons modéliser la corrélation des observations avecun nombre réduit de paramètres.CMCouple-BIDans ce modèle nous supposons que les Y n sont indépendantes conditionnellementà X mais l’égalité p(y n ∣x n−1∶n )=p(y n ∣x n ) n’est pas vérifiée. D’après la proposition(II.3), X n’est pas une chaîne de Markov. En utilisant la formule de Bayespour développer la densité p(y n∶n+1 ∣x n∶n+1 ), on obtient :30p(y 1∶2 ∣x 1∶2 )=p(y 1 ∣x 1∶2 )p(y 2 ∣x 1∶2 )(II.12)