Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETDéfinition IV.1 Soit X=(X n ) n=1∶N une chaîne de Markov, les X n prenant leurvaleurs dans un espace finiX={ω 1 ,...,ω K }. X est dite une chaîne de Markov stationnaire(CM-S) si p(x n =ω i ,x n+1 =ω j ) ne dépend pas de n. Dans le cas contraireX est dite une chaîne de Markov non-stationnaire (CM-NS). On dira que X est unechaîne de Markov M-stationnaire (CM-MS) s’il existe un processus U=(U n ) n=1∶Ntel que les U n prennent leur valeurs dans un espace fini, Λ=(λ 1 ,...,λ M ), et tel quele couple(X,U) est une chaîne de Markov stationnaire.Définition IV.2 Soit Z=(X,Y) un processus couple, dont X est caché et Y observé.Z est dit chaîne de Markov cachée M-stationnaire à bruit indépendant (CMC-MS-BI) si :◻ X est une CM-MS.◻ Y et U sont indépendant conditionnellement à X :YU∣X(IV.5)◻ Les Y n sont indépendants conditionnellement à X, et pour toute n, 1≤n≤N,Y n ne dépend que de X n .p(y∣x)=N∏n=1p(y n ∣x)=N∏n=1p(y n ∣x n )(IV.6)Dans les modèles classiques nous supposons que le processus caché est stationnairetandis que dans la pratique ce dernier peut ne pas l’être. Ainsi en situations réellesl’hypothèse de la stationnarité peut conduire à une mauvaise estimation des paramètreset par suite à une mauvaise restauration du processus caché. Ainsi la m-stationnarité permet de modéliser la non stationnarité du processus caché par unechaîne triplet stationnaire.ExempleSoit T=(X,U,Y) une CMT dont la loi est donnée par p(x 1 ,u 1 ,y 1 ) et les transitionsdéfinies par :p(t n+1 ∣t n )=p(v n+1 ∣v n )p(y n+1 ∣x n+1 )(IV.7)La loi initiale de la chaîne(X,U) est p(u 1 )p(x 1 ∣u 1 ) et les transitions sont de laforme :p(v n+1 ∣v n )=p(x n+1 ,u n+1 ∣x n ,u n )=p(u n+1 ∣u n )p(x n+1 ∣u n+1 ,x n )(IV.8)59