ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENS1. p(x n+1 ∣x n ,y 1∶n )=p(x n+1 ∣x n );2. p(y n+1 ∣x n ,x n+1 ,y 1∶n )=p(y n+1 ∣x n+1 ,y 1∶n );3. p(y n+1 ∣x n+1 =ω i ,y 1∶n )=q i (y n+1 ∣y 1∶n ).Notons que dans une CMC-BC la chaîne cachée X est markovienne. La loi d’uneCMC-BG est ainsi donnée par la loi de X et K lois des K processus gaussiensdéfinies par les lois p(y 1∶n+1 ∣x n+1 = ω 1 ), ..., p(y 1∶n+1 ∣x n+1 = ω K ), ces dernières étantdonnées par les K lois gaussiennes, correspondant aux K classes, du vecteur Y 1∶N .Notons également que le point 2. n’est pas indispensable; cependant, on simplifielégèrement le modèle pour le rendre plus "parlant" (dans la version simplifiée lenombre des bruitages gaussiens différents correspond au nombre des classes).Les quantités p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) sont alors calculables dans une récurrence préalableprogressive. En effet, les moyennes̃m xn+1 et les variances̃γ xn+1 des loisp(y n+1 ∣x n+1 ,y 1∶n )peuvent être calculées par les récurrences suivantes. On pose y 1 ∣x 1 ∼N(m x1 ,γ x1 (0))et pour tout 1≤n≤N− 1, y n+1 ∣x n+1 ∼N(m xn+1 ,γ xn+1 (0)). Les matrices d’autocorrélationcorrespondant aux K lois gaussiennes du vecteur Y 1∶N sont donc supposéesconnues :Γ n+1x n+1=⎛⎜⎝γ xn+1 (0) γ xn+1 (1) ... γ xn+1 (n)γ xn+1 (1) γ xn+1 (0) ... γ xn+1 (n−1)⋮ ⋮ ⋱ ⋮γ xn+1 (n) γ xn+1 (n−1) ... γ xn+1 (0)⎞⎟⎠=( Γn x n+1 Γ 2,1x n+1Γ 1,2x n+1γ xn+1 (0) )En utilisant les propriétés de vecteurs gaussiens (voir Annexe C), nous obtenons :̃m xn+1 =m xn+1 +Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 (y 1∶n −m n x n+1)(V.11)̃γ xn+1 =γ xn+1 −Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 Γ 1,2x n+1(V.12)avecm n x n+1=(m xn+1 ,...,m xn+1 ). Nous pouvons également calculer les lois gaussiennesn foisp(y 1∶n+1 ∣x 1∶n+1 )∼N(M x1∶n+1 ,Γ x1∶n+1 ) par récurrence :● Initialisation :M x1 =m x1 et Γ x1 =γ x1 (0)●∀ 2≤n≤NM x1∶n+1 =(M x1∶nm xn+1 +Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 [M x1∶n −m n x n+1] ) et(V.13)Γ x1∶n+1 =(Γ x1∶n Γ x1∶n (Γ n x n+1) −1 Γ 1,2x n+1Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 Γ x1∶n γ xn+1 (0)+Γ 2,1x n+1(Γ n x n+1) −1 [Γ x1∶n (Γ n x n+1) −1 Γ 1,2x n+1−Γ 1,2(V.14)Le modèle CMC-BG est général dans la mesure où les matrices des covariance cidessussont quelconques. Lorsque ces matrices définissent des distributions gaussiennes« à mémoire longue », on obtient le modèle « chaîne de Markov cachée pardu bruit gaussien à mémoire longue » (CMC-GML) :104x n+1] )
CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSDéfinition V.6 Une CMC-BG est dite « chaîne de Markov cachée par du bruitgaussien à mémoire longue » (CMC-GML) si les K lois gaussiennes, correspondantaux K classes, du vecteur Y 1∶N sont à mémoire longue.Les deux modèles sont des « chaînes de Markov cachées » car l’hypothèse 1.implique immédiatement la markovianité du processus caché X.Ainsi dans le modèle CMC-BG nous pouvons calculer les quantitésp(z n+1 ∣z n ,y 1∶n−1 )nécessaires pour faire de la restauration des données manquantes. Notons que cestransitions se présentent sous forme simplifiée :p(z n+1 ∣z n ,y 1∶n−1 )=p(x n+1 ∣x n )p(y n+1 ∣x n+1 ,y 1∶n )(V.15)Dans certains cas où les corrélations sont paramétrisées, il est possible d’appliquerune version étendue de l’ICE pour estimer les paramètres. Cependant, cetteadaptation n’est pas immédiate [65,73]. Nous reviendrons à cette question dans ladernière section de ce chapitre, où l’ICE sera utilisée pour proposer des méthodes"semi-supervisées" de filtrage.Notons que le modèle CMC-BG présente un certain nombre de propriétés inhabituelles;en particulier, la loi de Y n conditionnelle à X 1 ,...,X n dépend de tous lesX 1 ,...,X n .V.3 Modèle conditionnellement linéaire à sauts markoviensDans cette section, nous proposons des nouveaux modèles aléatoires triplets,qui permettent de faire un calcul exact avec une complexité linéaire en nombred’observations de E[X n ∣y 1∶n ] et E[X n ∣y 1∶N ] en présence de sauts aléatoires. La nouveautéconsiste dans la prise en compte, au sein de ces modèles triplets, des modèlesCMC-BG brièvement rappelés dans la sous-section précédente. En particulier, nouspourrons donc utiliser les CMC-GML.Soient X =(X n ) 1∶N et Y =(Y n ) 1∶N deux processus aléatoires. Pour tout 1≤n≤N, X n et Y n sont à valeurs dans l’ensemble des réels R. Soit R=(R n ) 1∶N unprocessus discret dont les composantes R n prennent leurs valeurs dans un espacefini Ω={ω 1 ,...,ω K }. Nous supposons que Y 1∶N sont observées et que X 1∶N et R 1∶Nne le sont pas. Le problème est alors d’estimer les réalisations des X 1∶N et R 1∶N àpartir des réalisations de Y 1∶N .Dans la première sous-section ci-après nous rappelons le modèle classique etprécisons les difficultés du calcul exact des quantités E[X n ∣y 1∶n ] et E[X n ∣y 1∶N ]. Ladeuxième sous-section est consacrée aux modèles récents, par chaînes de Markovtriplets, permettant ce calcul avec une complexité raisonnable. Notre modèle estprésenté dans la troisième sous-section.V.3.1 Modèle ClassiqueLe modèle classique consiste à considérer que le processus des sauts est markovien,et conditionnellement aux sauts le couple(X,Y) est un système linéaire. Afin105
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École Doctorale SMPCThèse présen
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ABSTRACTis to extend these models t
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Table des matièresRésumé . . . .
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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