ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETLa démonstration de ce théorème est donnée dans [9]. L’intérêt de ce théorèmequ’il nous permet d’accéder à la loi locale conditionnelle p(x n ∣x t ,t∈ν(n)) à partirdu système de voisinage et les fonctions « potentiel ». La loi locale conditionnellep(u n ∣u t ,t∈ν(n)) est donnée par :p(u n ∣u t∈ν(n) )=exp[−φ c (u n ,u c−{n} )]∫ un∈U exp[−φ c(u n ,u c−{n} )] =Φ c(u n ),(IV.51)et la densité globale est un produit :p(u)=∏Φ c (u c ).c∈C(IV.52)La simulation des réalisations d’un champ de Markov est alors possible par itérationen utilisant la loi locale conditionnelle (IV.51), dont la forme est généralementsimple et qui est généralement calculable. Cette méthode de simulation, que nousallons détailler par la suite, s’appelle « échantillonneur de Gibbs ».IV.3.1 Champ Gaussien-MarkovienSoit U=(U n ) n=1∶N un vecteur aléatoire Gaussien défini sur S. On suppose que Sest muni d’un système de voisinage ν. On note par µ le vecteur moyen de U et parΣ=Q −1 sa matrice de covariance. La densité de la loi de U s’écrit :p(u)=(2.π) −N 2∣Q∣ 1 2 exp[− 1 2 (u−µ)T Q(u−µ)](IV.53)Le champ U est un champ markovien si et seulement si p(x n ∣x t ,t≠n) vérifie (IV.49).En terme de covariance, cela se traduit par : si t n’appartient pas au voisinage den, la covariance entre U n et U t conditionnellement au reste du champ est nulle.Cov(U n ,U t ∣u p ∉{n,t})=0(IV.54)Cette propriété se traduit également par la propriété suivante de la structure de lamatrice de covariance inverse Q=Σ −1 =(Q n,t ) 1≤n≤N,1≤t≤N :Propriété IV.1 La matrice Q vérifie :U n U t ∣U p ,p∉{n,t}⇔Q n,t =0La loi du champ U s’écrit donc également sous la forme de mesure de Gibbs et p(u)est une mesure de Gibbs donnée par :p(u)= 1 Z exp[−∑ c∈Cφ c (u c )] (IV.55)Comme U est un vecteur gaussien, nous pouvons calculer la loi locale conditionnelle.C’est une gaussienne de moyenne conditionnelle :86E[U n ∣u t ,t≠n]=µ n − 1 ∑ Q n,t (u t −µ t ),Q n,n t∈ν(n)(IV.56)
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETet de variance conditionnelle :V[U n ∣u t ,t≠n]= 1Q n,n.(IV.57)La covariance conditionnelle est donnée par :Q n,tC[U n ,U t ∣u p ,p/∈{n,t}]=− √Qn,n Q t,t(IV.58)La connaissance de la loi globale et la loi conditionnelle permettent de simuler lechamp U par plusieurs méthodes que nous préciserons ci-après.IV.3.2 Simulation du Champ Gaussien-MarkovienLa simulation d’un champ Gaussien-Markovien est possible par plusieurs méthodes.Des logiciels informatiques tels que LAPACK (Linear Algebra Package) etATLAS (Automatically Tuned Linear Algebra Software) permettent d’aborder cetype de problèmes avec une taille énorme de données (N> 10 8 pour une image detaille 128×128).Nous présentons dans la suite des méthodes indirectes de simulation et une méthodedirecte qui a été présentée par Rue dans [106].Soit U=(U n ) n=1∶N un champ Gaussien-Markovien de moyenne µ et de matricede covariance Σ=Q −1 .Échantillonneur de GibbsL’échantillonneur de Gibbs est un algorithme itératif de simulation. Nous commençonspar une initialisation arbitraireU=u 0 pour le champ U. A chaque itérationnous balayons la grille S pour mettre à jour les sommets n. En utilisant les équations(IV.56) et (IV.57), nous obtenons les paramètres de loi conditionnelle de U n sachantson voisinage(u t ,t∈ν(n)), et selon cette loi on fait un tirage pour mettre à jour lesite n avec la nouvelle valeur obtenue.Le déroulement de l’algorithme est le suivant :Algorithme IV.1 Échantillonneur de Gibbs :i) Initialiser le champ U d’une manière arbitraire u 0 ;ii) à l’iteration q, balayer le réseau S et pour chaque site s :◻ calculer les paramètres de p(u n ∣u t ,t∈ν(n));◻ tirer aléatoirement selon p(u n ∣u t ,t∈ν(n)) une valeur u n ;◻ mettre à jour le site n avec la nouvelle valeur u n .La suite aléatoireU 0 ,..,U q ainsi obtenue est une chaîne de Markov qui converge, sousdes conditions assez générales, vers la loi donnée par l’équation (IV.55) [117]. Nouspouvons distinguer deux types d’échantillonneur de Gibbs selon le parcours utilisépour balayer S. Le premier utilise un parcours séquentiel dans un ordre prédéfinicomme par exemple 1,2,..,N ; le deuxième type utilise un balayage aléatoire dessites.87
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