ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESdonne :C[(X n ,X n+1 )∣y 1∶n ] = E[(X n − E[X n ∣y 1∶n ])(X n+1 − E[X n+1 ∣y 1∶n ])]= E[(X n −m n )(X n+1 −m − n+1)]= E[(X n −m n )(FX n +ǫ n −Fm n )]= F E[(X n −m n ) 2 ]= FP n= C nEn utilisant la propriété du calcul de loi conditionnelle pour les vecteurs gaussiens,nous pouvons en déduire la moyenne m + n et la variance P + n de X n ∣x n+1 y 1∶n :m + n=m n +C n [x n+1 −m − n+1][P − n+1] −1P + n=P n −C n [P − n+1] −1 C T nDe même, nous pouvons en déduire la loi du x n ∣y 1∶N :(I.41)(I.42)L ∗ n=FP n P −1n+1 (I.43)ce qui était notre objectif.m ∗ n=m n +L ∗ n[m ∗ n+1−m − n+1]P ∗ n=P n −L ∗ n[P ∗ n+1−P − n+1](L ∗ n) T(I.44)(I.45)ExempleDans cet exemple nous simulons des réalisations d’un système linéaire gaussienqui a comme dynamique le système (I.34), et nous présentons des résultats de filtragepar le filtre de Kalman et de lissage RTS. Les paramètres de simulation sont présentésdans la table 1.1.Paramètres Valeurm 1 0V 1 1F 1R 1m y 0H 2Q 0.1Table I.1 – Paramètres de simulationLes réalisations x 1∶N et y 1∶N sont représentées sur la figure (I.10) avec N= 100.La courbe supérieure est celle de y 1∶N et la courbe inférieure est celle de x 1∶N . Surla figure (I.11) on trouve l’estimation̂x 1∶N à partir de l’observation y 1∶N (a) estl’estimation avec le filtre de Kalman et (b) l’estimation par le lissage RTS.20
CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESFigure I.10 – Simulation système linéaire gaussien(a)(b)Figure I.11 – (a) Estimation par filtrage de Kalman (b) estimation par lissage RTSOn remarque que les trajectoires estimées par le filtre de Kalman et le lissageRTS, sont presque identiques et elles sont très proches de la vraie trajectoire. Cela estdû au fait que la variance deξ n est petite Q=0.1 ; le système est donc peu « bruité ».Dans l’exemple suivant nous considérons Q=1 et nous gardons les mêmes valeurspour les autres paramètres. Les réalisations x 1∶N et y 1∶N sont représentées sur lafigure (I.12).Figure I.12 – Simulation système linéaire gaussien21
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Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
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Annexe CVecteurs gaussiensDéfiniti
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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