Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETest ainsi une chaîne couple où les T n sont à valeurs dans l’espace produitX×R 2 . Ensupposant T markovienne nous avons :N−1p(t)=p(t 1 )∏n=1p(t n+1 ∣t n )(IV.33)Par ailleurs, la loi marginale a posteriori p(x n ∣y 1∶N ) du processus caché X estobtenue à partir de celle du processus couple(X,U) par :p(x n ∣y 1∶N )=∫ Rp(v n ∣y 1∶N )du=∫ Rp(x n ,u n ∣y 1∶N )du n(IV.34)Étant donné que T=(V,Y) est une chaîne de Markov couple ses lois marginalesa posteriori p(v n ∣y 1∶N ) peuvent être obtenues par des algorithmes analogues à ceuxprésentés dans le chapitre (II), avec cependant certaines sommes remplacées pardes intégrales. Si on note par α n (v) la probabilité (pour simplifier, on continueraà l’appeler « probabilité » sachant que c’est densité par rapport au produit dela mesure de comptage par la mesure de Lesbegue) progressive et par β n (v) lesprobabilités rétrogrades alors p(v n ∣y 1∶N ) est donné par :p(v n ∣y 1∶N )∝α n (v n )β n (v n )(IV.35)avec les α n (v)=p(v n = v,y 1∶n ) et β n (v)=p(y n+1∶N ∣v n = v,y n ) calculables par récurrence:α 1 (v 1 )∝p(t 1 ) et α n+1 (v n+1 )=∑∫ α n (v n )p(t n+1 ∣t n )du n ,X R(IV.36)etβ N (v N )=1 et β n (v n )=∑∫ β n+1 (v n+1 )p(t n+1 ∣t n )du n+1X R(IV.37)Le modèle CMTM est très riche sous sa forme générale et, comme dans le cas dela CMT classique, on obtient un grand nombre de modèles particuliers. Par exemple,en considérant le triplet T=(X,U,Y) comme étant un couple T=(V,Y) à bruitindépendant, les transitions p(t n+1 ∣t n ) s’écrivent :p(t n+1 ∣t n )=p(y n+1 ∣x n+1 )p(x n+1 ∣u n+1 ,x n )p(u n+1 ∣u n ,x n )(IV.38)Le graphe d’indépendance conditionnelle non orienté d’un tel modèle est alors lesuivant :76