Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESNous détaillons dans la suite les modèles graphiques orientés et non-orientés;pour plus de précisions, les lecteurs intéressés pourront également consulter le livrede Steffen L. Lauritzen [74], ou l’article de P. Smyth et al. [113].I.1.1 Modèle graphique non orientéSoitS={1,..,N} une partie de N, et soitE un sous ensemble deS×S. Nousappelons « graphe » le coupleG=(S,E). L’ensembleS sera nommé ensemble dessommets, etE l’ensemble des arêtes. Le grapheG sera nommé graphe non orientélorsque pour tout couple de sommets(u,v)∈S 2 , si(u,v)∈E alors(v,u)∈E. Soientu et v deux sommets deG. On dit qu’il y a une arête entre u et v dansG, et on noteu↔Gv, si(u,v)∈E. On note u↮Gv s’il n’y a pas d’arête.Pour tout sommet u deS, on note ν(u) l’ensemble des voisins de u, cad. l’ensembledes sommets v qui sont reliés par des arêtes à u :ν(u)={v∈S,u↔Gv}(I.2)Un sous-ensembleC deG est une clique si et seulement si :◻C est un singleton, ou◻∀(u,v) deux sommets deC, u et v sont mutuellement voisins (u∈ν(v) etv∈ν(u)).On dit qu’il y a un chemin entre u et v, s’il existe une suite des sommets u 1 ,..,u n ,telle que : u∈ν(u 1 ),..,u i−1 ∈ν(u i ),..,u n ∈ν(v). SoientA,B etC trois sous-ensemblesdeS deux à deux disjoints. On dit queBsépareAetC, si seulement si pour toutsommet a dansA, tout sommet c dansC, tout chemin entre a et c passe par oumoins un sommet b appartenant àB.Sur la figure (I.1),D={3,4} sépareB={1,2} etC={5,6}. Un chemin entre{1}∈B et{5}∈D passe par{3}∈D.Définition I.2 SoitG un graphe. Le processus aléatoire X=(X n ) 1∶N satisfait lapropriété de Markov « par paires » par rapport àG, si∀(u,v) couple de sommets telque u↮Gv, X u et X v sont indépendants conditionnellement à X t∉{u,v} :∀(u,v), si u↮Gv alors X u X v ∣X t∉{u,v}(I.3)Définition I.3 SoitG un graphe. Le processus aléatoire X=(X n ) 1∶N satisfait lapropriété de Markov « locale »par rapport àG, si pour tout sommet n∈{1,..,N}, X nest indépendant de ses non-voisins(X t ) t∉{n∪ν(n)} conditionnellement à(X t ) t∈ν(n) :∀n∈S X n (X t ) t∉{n∪ν(n)} ∣(X t ) t∈ν(n)(I.4)Définition I.4 SoitG un graphe. Le processus aléatoire X=(X n ) 1∶N satisfait lapropriété de Markov « globale »par rapport àG, si pour tout triplet(B,C,D) desous-ensembles deS, disjoints deux à deux, tels queDsépareB etC dansG, on a :X B X C ∣X D(I.5)On dit alors également queG est le graphe d’indépendance conditionnelle pour X.6