Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETComme T est une CM sa loi est donnée par la loi initiale et les transitions. Laloi initiale s’écrit :p(t 1 )=p(u 1 )p(x 1 ∣u 1 )p(y 1 ∣u 1 ),(IV.45)et les transitions sont :p(t n+1 ∣t n )=p(u n+1 ∣u n )p(x n+1 ∣u n+1 )p(y n+1 ∣u n+1 ),(IV.46)ce qui donne bien la forme requise.Le graphe d’indépendance conditionnelle non orienté d’un tel modèle est alors lesuivant :y 1 y 2 y 3 y Nu 1 u 2 u 3 u Nx 1 x 2 x 3 x NFigure IV.15 – Graphe d’indépendance conditionnelle non orienté d’une CMTmixteNous sommes en face d’un modèle original très simple; cependant, là encore lescalculs explicites des lois marginales a posteriori p(x n ,u n ∣y 1∶N ) et p(x n ∣y 1∶N ) ne sontpas toujours possibles. Ils le sont dans un cas particulier étudié ci-après : le casgaussien.Exemple :(U,Y) gaussienSoit(U,Y) chaîne de Markov cachée à bruit indépendant gaussienne et stationnaire.De plus, on supposera le processus U centré. Classiquement, les transitionsde la loi de(U,Y) s’écrivent sous forme du système suivant :(E)∶{ U n+1 =ρU n +ǫ nY n =m y +cU n +ξ n(IV.47)Nous considérons U 1 ∼N(0,1), ρ∈R tel que∣ρ∣