Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESOn a p(x n+1 ,y n+1 ∣x n ,y n )=p(x n+1 ,y n+1 ∣x n ) du fait que c’est une chaîne de Markovà bruit indépendant. La loi p(x n ,y 1∶N ) se développe comme dans (I.17) et commep(y n+1∶N ∣x n ,y n )=β n (x n ) alors p(x n ,y 1∶N )=β n (x n )p(x n ,y 1∶n ). nous pouvons exprimerp(x n+1 ∣x n ,y 1∶N ) en fonction des β n et des transitions p(x n+1 ,y n+1 ∣x n ) :et après simplification :p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N )= β n+1(x n+1 )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n )p(x n ,y 1∶n ),β n (x n )p(x n ,y 1∶n )p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N )= β n+1(x n+1 )β n (x n ) p(x n+1,y n+1 ∣x n ).(I.21)La densité de la loi du couple(X n+1 ,X n ) conditionnellement à y 1∶N s’écrit :p(x n+1 ,x n ∣y 1∶N )=p(x n ∣y 1∶N )p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N )(I.22)En utilisant les équations (I.20) et (I.21) on obtient :p(x n+1 ,x n ∣y 1∶N )∝β n+1 (x n+1 )α n (x n )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n )(I.23)Le point important est que les probabilités α n et β n sont calculables par lesrécurrences suivantes :1. calcul des α n (récurrence directe) :◻ Initialisation : α 1 (x 1 )=p(x 1 ,y 1 );◻ Supposons α n calculé dans l’étape précédente(n) :α n+1 (x n+1 ) = p(x n+1 ,y 1∶n+1 )=k∑j=1la formule de récurrence est la suivante :p(x n =w j ,x n+1 ,y 1∶n+1 )α n+1 (x n+1 )=k∑j=1α n (x n =ω j )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n =ω j )(I.24)2. calcul des β n (récurrence rétrograde) :◻ Initialisation : β N (x N )=1 ;◻ Supposons β n+1 (x n+1 ) calculé dans l’étape précédente(n+1) :β n (x n ) = p(y n+1∶N ∣x n ,y n )=k∑j=1la formule de récurrence est la suivante :p(x n+1 =ω j ,y n+1∶N ∣x n ,y n )β n (x n )=k∑j=1β n+1 (x n+1 =ω j )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n ).(I.25)15