Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSNous utilisons comme estimateur pour p i,j = p(x n = ω i ,x n+1 = ω j ) à partir desdonnées complètes l’estimateur classique donné par :̂p i,j (x,y)=N−11(N−1)∑n=11(x n =ω i ,x n+1 =ω j )À chaque itération(q) de l’algorithme ICE, l’espérance conditionnelle de l’estimateur̂p i,j est calculable et elle est donnée par :p (q+1)i,j=N−11(N−1)∑n=1p(x n =ω i ,x n+1 =ω j ∣y 1∶N ,θ (q) )Le fait que la loi de y n dépend de tous les x k 1≤k≤n rend la tache d’estimation desparamètres m ωi et γ ωi (0) à partir des données complètes non triviale. Pour illustrercette difficulté des exemples sont donnés dans [66, 70], ainsi que une descriptionde l’algorithme ICE pour différents types de modèles (bruit stationnaire de secondordre, bruits gaussiens fractionnaires, FARIMA). Dans le cas du bruit stationnairede second ordre avec une famille de covariances considérée de la forme donnée par(V.23), l’algorithme ICE, pour estimer m ωi , σ ωi et α ωi , se déroule de la manièresuivante [66,70] :Algorithme V.1 Estimation des paramètres m ωi , σ ωi et α ωi par ICE cas de bruitstationnaire de second ordre (V.23) :1. Sous θ (q) , calculer les densités p(y 1∶n+1 ∣x 1∶n+1 ) par la récurrence progressive(décrite par les équations (V.13) et (V.14)) et en utilisant m ωi =m (q)ω iet Γ n ω i=Γ n,(q)ω i;2. Considérer J(i)={n 1 ,..,n r } sous-ensemble de{1,..,N} tel que∀1≤l≤r,x nl =x nl +1=ω i . Considérer les r échantillons correspondants(y n1 ,y n1 +1),..,(y nr ,y nr+1);3. soient∀1≤l≤r, M x (q)nl ∶n l +1et Γ (q)x nl ∶n l +1les vecteurs moyenne et matrices decovariance de p(y nl ∶n l +1∣x 1∶nl +1) calculées dans l’étape (1). Calculer les transformationsde Cholesky (IV.2) Γ (q)x nl ∶n l +1= C l Cl T et Γ 2,(q)ω i= D l Dl T et construireles r nouveaux échantillons,∀1≤l≤r :( ỹn lỹ nl +1)=D l C −1l [( y n ly nl +1)−M (q)x nl ∶n l +1](C T l )−1 D T l +m 2,(q)ω i;4. estimer les paramètres m ωi , σ 2 ω iet α ωi à partir de r nouveaux échantillonsobtenus l’étape dans (3) par :m (q+1)ω i= 1 2 (m(q+1) ω i ,(1) +m(q+1) ω i ,(2) );(σ 2 ω i) (q+1) = 1 2 (̂γ (1)(0)+̂γ (2) (0));α (q+1)ω îγ(1)](σω 2 i) (q+1)log[= −log(2)112avec m (q+1) = 1 ω i ,(1) r ∑r l=1ỹ nl , m (q+1) = 1 ω i ,(2) r ∑r l=1ỹ nl +1,̂γ (1) (0)= 1 r ∑r l=1(ỹ nl −m (q+1)ω i ,(1) )2 ,̂γ (2) (0)= 1 r ∑r l=1(ỹ nl +1−m (q+1)ω i ,(2) )2 et̂γ(1)= 1 r ∑r l=1(ỹ nl −m (q+1) )(ỹ ω i ,(1) n l +1−m (q+1) ) ω i ,(2)