ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETLorsque la taille du processus à simuler n’est pas trop grande, la simulation directeest la plus exacte et la plus rapide parmi ces méthodes de simulation. Cependant,lorsque la taille du processus à simuler est trop grande, il peut être préférable,afin d’éviter des problèmes numériques, de recourir à une méthode indirecte commel’échantillonneur de Gibbs ou la simulation parallèle.IV.3.3 Champ Gaussien-Markovien cachéLe modèle du champ Gaussien-Markovien caché fait partie de modèles de Markovcachés (MMC). On suppose qu’il existe un champ Gaussien-Markovien U=(U n ) 1∶Nnon observé, qui est le processus d’intérêt défini sur une grille S. Les donnés dontnous disposonsy=(y n ) 1∶N sont la réalisation d’un autre champ aléatoireY=(Y n ) 1∶N .Nous nous intéressons dans cette partie au cas du champ Gaussien-Markovien à bruitindépendant (CGMC-BI).Présentation du modèle CGMC-BIOn appelle « champ Gaussien-Markovien caché à bruit indépendant » (CGMC-BI) le couple(U,Y)=(U n ,Y n ) 1∶N dont la loi est définie de la manière suivante. Lechamp inobservable U est Gaussien-Markovien ( U∼N N (µ,Σ=Q −1 )). Rappelonsque sa loi s’écrit alors :p(u)=(2.π) −N 2∣Q∣ 1 2 exp[− 1 2 (u−µ)T Q(u−µ)](IV.65)avec la matrice de covariance Σ telle que pour tout n∈{1,..,N}, la variable U nest indépendante de l’ensemble des variables(U t ,t∉ν(n)) conditionnellement aux(U t ,t∈ν(n)) :p(u n ∣u t ,t≠n)=p(u n ∣u t ,t∈ν(n))(IV.66)La loi du champ observé Y conditionnelle au champ caché U est une loi quelconque( qui vérifie certaines conditions données dans la suite) : sachant U=u, les Y n sontindépendantes et pour tout n∈{1,..,N}, la loi de Y n conditionnelle à U = u nedépend que de U n :p(y∣u)=N∏n=1p(y n ∣u)=N∏n=1p(y n ∣u n )(IV.67)Le champ U conditionnellement à Y=y est alors également un champ Gaussien-Markovien [11], ce qui permet d’aborder les problèmes de restauration de U à partirde Y . En effet, selon la formule de Bayes :p(u∣y)= p(u,y)p(y) =∝p(y∣u)p(u),(IV.68)nous avons donc :90p(u∣y)∝exp[− 1 2 (u−µ)T Q(u−µ)+ ∑logp(y n ∣u n )]Nn=1(IV.69)
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETSi log[p(y n ∣u n )] admet un développement de Taylor à l’ordre 2 en µ u par rapport àu s qui est donné par :logp(y n ∣u n )∝− 1 2 c n(u n −µ) 2 +b n (u n −µ)+a n(IV.70)soit C= diag(c 1 ,..,c N ) la matrice formée par les c s sur le diagonale et 0 ailleurs etB=(b 1 ,..,b N ) T le vecteur formé par les b s :p(u∣y)=∝exp[− 1 2 (u−µ)T (Q+C)(u−µ)+B T u](IV.71)La densité de la loi du U∣Y=y est proportionnelle à la densité d’une gaussienne demoyenne µ ∗ = µ+[Q+C] −1 B et de matrice de covariance Q ∗ = Q+C. La matriceQ ∗ est une matrice symétrique définie positive ce qui permet d’utiliser la méthodedirecte pour simuler U sachant Y=y.µ ∗ =µ+[Q+C] −1 B (IV.72)Q ∗ =Q+C(IV.73)ExemplesDans cette sous-section, nous présentons quelques exemples d’applications dechamp de Markov-Gauss caché. Les résultats d’estimation de paramètres et de lasegmentation sont obtenus par le package R-INLA 2 développé par H. Rue et S.Martino [107].Dans le premier exemple, nous considérons un processus auto-régressif d’ordre 1de taille N=100 :∀ 2≤n≤N, U n =ρU n−1 +ǫ n ,(IV.74)avec U 1 est une gaussienne de moyenne nulle et de variance[τ(1−ρ 2 )] −1 et les ǫ nsont des gaussiennes indépendantes de moyenne nulle et de variance τ −1 telle queǫ n ⊥ U n−1 . U=(U n ) 1∶N est un champ Gaussien-Markovien de vecteur de moyenne→ 0 N et de matrice de Σ=Q 1 :⎛ 1 ρ ρ 2 ⋯ ρ N−1 ⎞ ⎛ 1 −ρ 0 ⋯ 0 ⎞1ρ 1 ρ ⋯ ρ N−2−ρ 1+ρ 2 −ρ ⋱ ⋮Σ=τ(1−ρ 2 )ρ 2 ρ 1 ⋯ ρ N−3Q=τ0 −ρ ⋱ ⋱ 0⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋱ 1+ρ 2 −ρ⎟⎝ ρ N−1 ρ N−2 ρ N−3 ... 1 ⎠ ⎝ 0 ... 0 −ρ 1 ⎠(IV.75)La loi de p(y n ∣x n ) est un Poisson de paramètre λ n =E n exp(u n ) avec les E n sontconnus :p(y n =k∣E n ,u n )= λk nk! exp(−λ n) (IV.76)Les paramètres du modèle sont θ=(τ,ρ). Pour la simulation, ρ=0.9 et τ=10 et lesréalisations des champs U et Y sont représentés sur la figure (IV.25).2. Integrated nested Laplace approximation91
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École Doctorale SMPCThèse présen
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ABSTRACTis to extend these models t
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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