ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSNous utilisons comme estimateur pour p i,j = p(x n = ω i ,x n+1 = ω j ) à partir desdonnées complètes l’estimateur classique donné par :̂p i,j (x,y)=N−11(N−1)∑n=11(x n =ω i ,x n+1 =ω j )À chaque itération(q) de l’algorithme ICE, l’espérance conditionnelle de l’estimateur̂p i,j est calculable et elle est donnée par :p (q+1)i,j=N−11(N−1)∑n=1p(x n =ω i ,x n+1 =ω j ∣y 1∶N ,θ (q) )Le fait que la loi de y n dépend de tous les x k 1≤k≤n rend la tache d’estimation desparamètres m ωi et γ ωi (0) à partir des données complètes non triviale. Pour illustrercette difficulté des exemples sont donnés dans [66, 70], ainsi que une descriptionde l’algorithme ICE pour différents types de modèles (bruit stationnaire de secondordre, bruits gaussiens fractionnaires, FARIMA). Dans le cas du bruit stationnairede second ordre avec une famille de covariances considérée de la forme donnée par(V.23), l’algorithme ICE, pour estimer m ωi , σ ωi et α ωi , se déroule de la manièresuivante [66,70] :Algorithme V.1 Estimation des paramètres m ωi , σ ωi et α ωi par ICE cas de bruitstationnaire de second ordre (V.23) :1. Sous θ (q) , calculer les densités p(y 1∶n+1 ∣x 1∶n+1 ) par la récurrence progressive(décrite par les équations (V.13) et (V.14)) et en utilisant m ωi =m (q)ω iet Γ n ω i=Γ n,(q)ω i;2. Considérer J(i)={n 1 ,..,n r } sous-ensemble de{1,..,N} tel que∀1≤l≤r,x nl =x nl +1=ω i . Considérer les r échantillons correspondants(y n1 ,y n1 +1),..,(y nr ,y nr+1);3. soient∀1≤l≤r, M x (q)nl ∶n l +1et Γ (q)x nl ∶n l +1les vecteurs moyenne et matrices decovariance de p(y nl ∶n l +1∣x 1∶nl +1) calculées dans l’étape (1). Calculer les transformationsde Cholesky (IV.2) Γ (q)x nl ∶n l +1= C l Cl T et Γ 2,(q)ω i= D l Dl T et construireles r nouveaux échantillons,∀1≤l≤r :( ỹn lỹ nl +1)=D l C −1l [( y n ly nl +1)−M (q)x nl ∶n l +1](C T l )−1 D T l +m 2,(q)ω i;4. estimer les paramètres m ωi , σ 2 ω iet α ωi à partir de r nouveaux échantillonsobtenus l’étape dans (3) par :m (q+1)ω i= 1 2 (m(q+1) ω i ,(1) +m(q+1) ω i ,(2) );(σ 2 ω i) (q+1) = 1 2 (̂γ (1)(0)+̂γ (2) (0));α (q+1)ω îγ(1)](σω 2 i) (q+1)log[= −log(2)112avec m (q+1) = 1 ω i ,(1) r ∑r l=1ỹ nl , m (q+1) = 1 ω i ,(2) r ∑r l=1ỹ nl +1,̂γ (1) (0)= 1 r ∑r l=1(ỹ nl −m (q+1)ω i ,(1) )2 ,̂γ (2) (0)= 1 r ∑r l=1(ỹ nl +1−m (q+1)ω i ,(2) )2 et̂γ(1)= 1 r ∑r l=1(ỹ nl −m (q+1) )(ỹ ω i ,(1) n l +1−m (q+1) ) ω i ,(2)
CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSLes résultats des trois premières segmentations, obtenues avec CMC-BI, sontprésentés à la figure (V.4), et les taux d’erreur sont donnés dans la première colonnede la table (V.1). Nous constatons que les données simulées selon CMC-BI sontpresque parfaitement restaurées; par contre, lorsque les données sont à mémoirelongue les résultats sont soit très mauvais, soit relativement médiocres. L’associationde CMC-BI avec ICE apparaît ainsi, lorsque les données sont à mémoire longue,comme étant peu robuste.Les résultats des trois segmentations suivantes, obtenues avec CCLSM-GML,sont présentés à la figure (V.5), et les taux d’erreur sont donnés dans la deuxièmecolonne de la table (V.1). Nous constatons que les données simulées selon CMC-BIsont restaurées avec la même qualité que celle donnée par la méthode fondée surCMC-BI. Ce constat est intéressant car CMC-BI n’est pas, à proprement parlé, uncas particulier de CCLSM-GML. Cela montre que CCLSM-GML peut gérer efficacementdes bruits non corrélés.Dans la deuxième série on s’intéresse au filtrage de Y .113
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École Doctorale SMPCThèse présen
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIP
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