Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETy 1 y 2 y 3x 1 x 2 x 3u 1 u 2 u 3Figure IV.10 – Graphe d’indépendance conditionnelle non-orienté d’une chaînesemi-markovienne cachée à bruit indépendant CSMC-BIPour une chaîne X de taille N et à K classes, l’espace d’états du couple(X n ,U n )à un cardinal de N×K, ce qui peut poser le problème de complexité algorithmiqueélevée pour l’algorithme de Baum-Welsh utilisé - grâce au fait que(X,U,Y) est unechaîne de Markov triplet - dans l’estimation des paramètres et la segmentation. Poursurmonter ce problème de complexité algorithmique un nouveau modèle particulierde CSMC a été récemment présenté par J. Lapuyade et W. Pieczynski [73]. Dans cenouveau modèle, les U n sont à valeurs dans un espace d’états fini, dont le cardinalest indépendant de N. Ce modèle fait ainsi partie des modèles triplets discutésprécédemment.Chaîne semi-markovienne particulièreCe nouveau modèle diffère du modèle de la chaîne semi-markovienne classiquepar le fait que les transitions q(x∣x) peuvent être non nulles; c’est-à-dire que leprocessus X peut rester dans la même état x malgré que le "temps de séjour" danscet état est écoulé. Une autre différence par rapport au modèle de la CSM classiqueest que les U n sont à valeurs dans un espace fini indépendant de N.Soit(X n ,U n ) 1∶N une chaîne tel que les X n et les U n sont à valeurs respectivementdansX={ω 1 ,..,ω K } et Λ={1,..,L}. Soit :– π une distribution de probabilité surX;– pour tout x∈X, soit d(x,.) une distribution de probabilité sur Λ ;– r(.∣.) transitions surX 2 .Supposons que la loi de la chaîne(X n ,U n ) 1∶N est définie de la façon suivante. La loiinitiale de la chaîne est donnée par :et les transitions sont définies par :où :70p(x 1 ,u 1 )=π(x 1 )d(x 1 ,u 1 ),p(x n+1 ,u n+1 ∣x n ,u n )=p(x n+1 ∣x n ,u n )p(u n+1 ∣x n+1 ,u n ),p(x n+1 ∣x n ,u n )={ δ x n(x n+1 ) si u n >1,r(x n+1 ∣x n ) si u n =1,(IV.25)(IV.26)(IV.27)