Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESmodèle a des avantages par rapport à l’autre, comme mentionné par Lauritzen [75].Les modèles graphiques orientés acycliques ont un grand intérêt pour modéliser lesrelations asymétriques ou dites « relations de causalité ». Les modèles graphiquesnon-orientés ont un grand intérêt pour modéliser les relations symétriques d’interactionentre les variables aléatoires. Les deux ensembles des modèles graphiquesorientés et non-orientés ne sont pas égaux : Smyth et al. [113] donnent un exemplede modèle graphique orienté acycliques qui n’admet pas de modèle graphique nonorientééquivalent (un graphe orienté → G=(S, → E) et un graphe on orientéG=(S,E)sont dits « équivalents » en terme d’indépendance conditionnelle si et seulementsi pour tous sous-ensemblesB,C etD disjoints deux à deux non-vides deS,C sépareBetDdans → G ⇔C sépareBetD dansG ). Il donne également un exemplede graphe non-orienté qui n’admet pas de modèle graphique orienté acyclique équivalent.I.1.3 Factorisation d’une loi selon un grapheIl n’est pas toujours possible de définir un graphe d’indépendance conditionnellepour un processus X. Smyth et al. [113] donnent des exemples de lois de probabilitéqui n’admettent une représentation graphique ni par modèle orienté ni par modèlenon-orienté. Réciproquement, il est parfois possible d’associer plusieurs lois à ungraphe d’indépendance conditionnelle.Soit X=(X n ) 1∶N un processus aléatoire. Les X n sont à valeurs dans un espaceX,et ils sont indexés par un ensemble fini des sommetsS d’un graphe d’indépendanceconditionnelleG. La densité de la loi de X se factorise selon le grapheG par rapportà la mesure de référence ν X =⊗n∈Sν Xn , si elle s’écrit :p(x)=∏p c (x c )c∈C(I.8)oùC est l’ensemble des cliques du grapheG.∀c∈C, p c est une fonction deX ∣c∣ dansR + .Le développement de la loi d’un processus selon son graphe d’indépendanceconditionnelle permet d’aborder des problèmes d’estimation et de segmentation danscertains modèles à données incomplètes. Dans toute la suite, nous utilisons des modèlesgraphiques non-orientés « minimaux », dans lesquels deux points s et t ne sontpas reliés par une arête si et seulement si les deux variables aléatoires associées X s etX t sont indépendantes conditionnellement aux autres. Le graphe minimal prend encompte de l’indépendance conditionnelle « par paires » pour l’ensemble des variablesconsidérées [88].I.2 Chaîne de Markov cachéeDans cette section, nous traitons un modèle de Markov caché parmi les plussimples, qui est la chaîne de Markov cachée (CMC). Nous distinguons deux cas :celui où le processus caché X est un processus discret et celui où c’est un processusréel continu.10