ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAMÈTRES◇ S’il existe des composantes θ m pour lesquelles l’espérance ci-dessus n’est pascalculable, on simule τ réalisations de X selon p(x∣y,θ q ) et on pose :pour toutes ces composantes.θ q+1m = 1 ττ∑i=1̂θ m (x i ,y)Dans certains cas, comme le cas des CMC-BI classiques avec du bruit gaussien [7],celui des arbres de Markov cachés, avec bruit gaussien ou pas [86], ou encore mélangesgaussiens simples [87], les algorithmes EM, SEM et ICE peuvent donner des résultatstrès proches. Au plan théorique, les liens entre EM et ICE ont été étudiés parDelmas [33]. L’avantage de l’ICE est qu’il est facile à programmer et nous n’avons pasdes problèmes de maximisation sous contraintes contrairement à l’algorithme EM.En général, nous avons plusieurs choix pour les estimateurs de paramètres et parmices choix l’estimateur de maximum de vraisemblance. La vitesse de convergence del’algorithme ICE dépend essentiellement du choix de ces estimateurs. Une étude surla convergence de ICE était présentée récemment par M. Pieczynski [95].III.3 ApplicationsNous présentons dans cette section des applications de l’estimation des paramètrespour quelques types de modèle à données incomplètes. Soit X=(X n ) n=1∶Nun processus aléatoire discret à valeurs dans un espace fini Ω={ω 1 ,...,ω K }. Xest inobservé, et les données que nous disposons sont représentées par le processusY=(Y n ) n=1∶N , qui est un processus réel. On note par Z=(Z n ) n=1∶N le couple(X,Y).La première modélisation classique que nous étudions est le cas d’un mélange indépendantgaussien fini.III.3.1 Mélange indépendant gaussien finiLes hypothèses de ce modèle sont les suivantes : les X n sont indépendants, etles Y n sont indépendants conditionnellement à X, Y n et(X t ) t≠n sont indépendantsconditionnellement à X n .p(y∣x)=p(x)=N∏n=1N∏n=1p(y n ∣x)=p(x n )N∏n=1p(y n ∣x n )(III.14)(III.15)Dans le cas de mélange des gaussiennes considéré, la loi conditionnelle de Y n sachantx n = ω k est une gaussienne de moyenne µ k et de variance σk 2N(µ k,σk 2 ). La logvraisemblanceest donnée par :46L c (z∣θ) = logp(x,y∣θ)=logp(x∣θ)+logp(y∣x,θ)=N∑n=1Nlogp(x n )+ ∑logp(y n ∣x n )n=1(III.16)(III.17)
CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAMÈTRESLes paramètres du modèle sont les probabilités π k =p(x n =ω k ) et les paramètresde la loi conditionnelle de Y n sachant X n , qui sont les moyennes µ k et les variancesσ 2 k . Nous avons 3K paramètres à estimer, et comme∑K k=1π k = 1 le nombre desparamètres sera réduit à 3K−1.θ=(π 1 ,...,π k ,µ 1 ,...,µ K ,σ 2 1,...,σ 2 K)(III.18)L’espérance conditionnelle deL c (z∣θ) sachant y 1∶N et la valeur courante de θ notéeθ q est :Q(θ,θ q ) = E[L(z∣θ)∣y,θ q ]=+NK∑∑log(π k )E[1(x n =ω k )∣y,θ q ]n=1k=1N K∑∑logp(y n ∣x n =ω k ,θ)E[1(x n =ω k )∣y,θ q ]n=1k=1Si on note γ n (k,θ q ) la probabilité p(x n = ω k ∣y,θ q )=E[1(x n = ω k )∣y,θ q ], la fonctionà maximiser est :NKQ(θ,θ q )= ∑∑γ n (k,θ q )log(π k )n=1k=1N K+ ∑∑γ n (k,θ q )logp(y n ,µ k ,σk 2)n=1k=1(III.19)L’étape (E) de l’algorithme EM consiste à calculer γ n (k,θ q ), qui est donnée par :γ n (k,θ q )=p(x n ∣y,θ q )=π q k N(y n,µ q k ,(σ2 k )q )∑ K k=1π q k N(y n,µ q k ,(σ2 k )q )(III.20)L’étape de maximisation de la fonction Q(θ,θ q ) par rapport à π k , sous la contrainte∑ K k=1π k =1, donne comme solution :π q+1k= 1 NN∑n=1γ n (k,θ q ),et les paramètres de la loi du Y n sachant x n =ω k sont donnés par :µ q+1k= ∑N n=1y n γ n (k,θ q )∑ N n=1γ n (k,θ q )(III.21)(III.22)(σk 2)q+1 = ∑N n=1(y n −µ q+1k) 2 γ n (k,θ q )(III.23)∑ N n=1γ n (k,θ q )Nous pouvons également appliquer l’algorithme ICE pour estimer les paramètresde ce modèle. En effet, à chaque étape q+ 1 les(π 1 ,..,π K ) sont estimables parl’espérance mathématique de leurs estimateurs. Choisissons comme estimateur àpartir des données complèteŝπ k (x,y) comme estimateur̂π k (x,y)= ∑N n=11(x n =ω k )N47
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Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
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Annexe CVecteurs gaussiensDéfiniti
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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