ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETIV.1.3 Chaîne Semi-Markovienne CachéeUne autre application pour les CMT est la modélisation de la semi-Markovianitédu processus cachéX. D’une part, les CMT permettent des généralisations aisées desmodèles par chaînes semi-markoviennes cachées classiques. D’autre part, les CMTsont à l’origine de l’introduction d’une nouvelle famille de chaînes semi-markoviennescachées par Lapuyade et all. [73]. En effet, une loi semi-markovienne de la chaîne Xpeut être vue comme la loi marginale d’une chaîne de Markov couple(X,U), où leprocessus U gère le temps de séjour des X n dans un état donné. Nous commençonspar donner quelques définitions concernant la semi-markovianité. Plus de précisionssur les modèles classiques peuvent être trouvés dans [4].DéfinitionsNous définissons une chaîne semi-markovienne à espace d’états fini comme lamarginale d’une chaîne de Markov.Définition IV.4 SoitX un ensemble fini de cardinal K, et soient :– la probabilité π surX ;– la transition q(.∣.) surX 2 vérifiant∀x∈X q(x∣x)=0;– pour tout x∈X, les densités de probabilité d(x,.) sur N ∗ .Soit X=(X n ) n>1 un processus aléatoire discret dont chaque X n prend ses valeursdansX={ω 1 ,..,ω K }. X est une chaîne semi-markovienne homogène de loi initialeπ, de transition q, et de loi de durée d s’il existe un processus U=(U n ) n>1 , chaqueU n prenant ses valeurs dans N ∗ , tel que V =(X,U) soit une chaîne de Markov deloi donnée par :p(x 1 ,u 1 )=π(x 1 )d(x 1 ,u 1 ),(IV.14)et les transitions :p(x n+1 ,u n+1 ∣x n ,u n )=p(x n+1 ∣u n ,x n )p(u n+1 ∣x n+1 ,u n ),(IV.15)avec :etoù δ a (b)=1 si b=a et 0 sinon .p(x n+1 ∣u n ,x n )={ δ x n(x n+1 ) si u n >1,q(x n+1 ∣x n ) si u n =1,p(u n+1 ∣u n ,x n+1 )={ δ u n−1(u n+1 ) si u n >1,d(x n+1 ,u n+1 ) si u n =1,(IV.16)(IV.17)La chaîne V =(X,U) est dite homogène du fait que les transitions ne dépendentpas de n. En effet, ni q(.|.)ni d(.,.) ne dépend de n. U n représente alors le temps deséjour restant pour la chaîne X dans l’état ω i .Proposition IV.2 Soit(X,U) une chaîne vérifiant (IV.15), (IV.16) et (IV.17).Soit D(x,n)=∑ k≥n d(x,k) la probabilité que le temps de séjour dans l’etat x soitsupérieur ou égal à n.La loi de la chaîne à temps fini X=(X n ) 1∶N est la loi marginale de la chaîne(X 1∶N ,W 1∶N ) à valeurs dansX×{1,..,N} dont la loi est donnée par :68
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLET– Loi initiale :avec :– Transition :p(x 1 ,w 1 )=π(x 1 )p(w 1 ∣x 1 ),p(w 1 ∣x 1 )={ d(x 1,w 1 ) si 1≤w 1 ≤N−1,D(x 1 ,N) si w 1 =N,(IV.18)(IV.19)avec :et :p(x n+1 ,w n+1 ∣x n ,w N )=p(x n+1 ∣w n ,x n )p(w n+1 ∣x n+1 ,w n ),p(w n+1 ∣x n+1 ,w n )=p(x n+1 ∣w n ,x n )={ δ x n(x n+1 ) si w n >1,q(x n+1 ∣x n ) si w n =1,⎧⎪⎨⎪⎩δ wn−1(w n+1 ) si w n >1,d(x n+1 ,w n+1 ) si w n =1 et 1≤w n+1 ≤N−1,D(x n+1 ,N) si w n =1 et w n+1 =N,(IV.20)(IV.21)(IV.22)où δ a (b)=1 si b=a et 0 sinon .Preuve : voir [70]Nous pouvons conclure de cette proposition que la loi de toute chaîne semi-markovienneà temps fini X=(X n ) 1∶N peut être considérée comme la loi marginale d’une chaînede Markov à espace d’états fini(X,W)=(X n ,U n ) 1∶N dont les(X n ,U n ) sont à valeursdansX×{1,..N}. Avec cette considération, nous pouvons appliquer les algorithmesd’estimation tel que l’algorithme de Baum-Welsh pour une chaîne de Markov coupleà temps fini(X n ,W n ) 1∶N . Les chaînes semi-markoviennes représentent une généralisationdes chaînes de Markov [77,78]. Le temps du séjour d’une chaîne de markovdans un état est modélisé par une loi géométrique. La proposition suivante donneles conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une CSM soit une CM [4,28,78].Proposition IV.3 Soit X=(X n ) n≥1 une chaîne semi-markovienne à valeurs dansun espace d’état finiX vérifiant (IV.20), (IV.21) et (IV.22). Alors X est une chaînede Markov de matrice de transitions Q(x ′ ,x)=p(x n+1 = x ′ ∣x n = x) si et seulementsi :d(x,u)=Q(x,x) u−1 ×(1−Q(x,x))∀x∈X et∀u≥1. (IV.23)Si cette condition est vraie, les transitions q(x ′ ∣x) vérifient :q(x ′ ∣x)= Q(x′ ,x)1−Q(x,x) ∀x,x′ tel que x ′ ≠x(IV.24)La loi d’une chaîne semi-markovienne cachée(X n ,Y n ) 1∶N tel que(X n ) 1∶N peut ainsiêtre considérée comme la loi marginale d’une chaîne de Markov triplet tel que lecouple(X n ,U n ) 1∶N est une chaîne de Markov à espace d’états fini et les(X n ,U n ) sontà valeurs dansX×{1,..,N}. Un tel triplet(X,U,Y) sera encore appelé chaîne semimarkoviennecachée (CSMC). Un cas particulier de ce modèle est la chaîne semimarkoviennecachée à bruit indépendant, qui admet pour graphe d’indépendanceconditionnelle le graphe représente sur la figure (IV.10).69
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École Doctorale SMPCThèse présen
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ABSTRACTis to extend these models t
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Table des matièresRésumé . . . .
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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Chapitre IModèles de Markov Classi
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Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
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Annexe CVecteurs gaussiensDéfiniti
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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