Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAMÈTRESalors sachant la valeur courante θ q et les observations y=(y n ) 1∶N , nous pouvonscalculer π q+1ipar :π q+1i= E θ q[̂π i (x,y)∣y]= 1 NN∑n=1p(x n =ω i ∣y 1∶N ,θ q )= 1 NN∑n=1γ n (i,θ q ) (III.24)et nous retrouvons le même estimateur pour π q+1ique par l’algorithme EM donnépar l’équation (III.34).Les estimateurs classiques pour les moyennes et les variances à partir des donnéescomplètes sont les suivants :̂µ q+1k= ∑N n=1y n 1(x n =ω k )∑ N n=11(x n =ω k )(III.25)(̂σ k 2)q+1 = ∑N n=1(y n −µ q+1k) 2 1(x n =ω k )(III.26)∑ N n=11(x n =ω k )Les espérances mathématiques de ces estimateurs ne sont pas calculables explicitement;conformément au principe de l’ICE, on effectue des tirages des donnéescachées selon leurs lois conditionnelles aux observations et on applique les estimateursci-dessus aux données simulées.III.3.2 CMC-BI gaussiennesRappelons que dans les CMC-BI X est une chaîne de Markov, les Y n sont indépendantsconditionnellement à X,et Y n et(X t ) t≠n sont indépendants conditionnellementàX n . De plus, nous supposons que Y n sachant X n qui sont des lois gaussiennes.Nous avons doncN−1p(x)=p(x 1 )p(y∣x)=N∏n=1∏n=1p(y n ∣x)=p(x n+1 ∣x n )N∏n=1p(y n ∣x n )(III.27)(III.28)Les paramètres de ce modèle sont regroupés en deux ensembles : le premier est constituédes paramètres de la loi du processus X, que nous supposons homogène, donnépar sa loi initiale π=(π 1 ,...,π K ) et la matrice des transitions A=(a i,j ) i=1∶k,j=1∶Kavec a i,j = p(x n+1 = ω i ∣x n = ω j ). Le deuxième est celui des paramètres des loi deY n conditionnellement à X n qui sont choisies comme des gaussiennes dans notreexemple. Le vecteur des paramètres θ est donc :θ=(π 1 ,...,π K ,a 1,1 ,...,a K,K ,µ 1 ,...,µ K ,σ 2 1,...,σ 2 K )(III.29)Le nombre des paramètres du modèle peut être réduit du fait qu’il y a des contraintes,comme∑ K k=1π k =1 et∀j=1,..,K ∑ K i=1a i,j =1. On suppose par ailleurs que la chaîneX est réversible (p(X n+1 = ω i ∣X n = ω j )=p(X n+1 = ω j ∣X n = ω i )), ce qui impliquea i,j =a j,iLa log-vraisemblance est donnée par :48N−1L c (z∣θ)=logp(x 1 )+∑n=1logp(x n+1 ,x n )+ ∑logp(y n ∣x n )Nn=1(III.30)