Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

INTRODUCTIONcorrespondant à cette fonction de perte est dite « Maximum des Marginales a Posteriori» (MPM). Elle est donnée par :∀ n∈S ̂x n (y)=argmaxx n∈Xp(x n ∣y) (5)Notre travail concerne les situations dans lesquelles le nombre d’observations Nest trop grand pour que l’on puisse envisager d’utiliser les lois du couple(X,Y) danstoute leur généralité et il est nécessaire de faire appel à des formes particulières deces lois. A titre d’exemple, en traitement des images, le réseauS est constitué des"pixels", ou des "sites", dont le nombre N peut être de l’ordre d’un million. Il estalors trop grand pour pouvoir envisager le calcul direct de la loi p(x,y) du couple(X,Y). Les modèles particuliers utilisés classiquement à des fin de segmentation oude lissage pourN "grand" sont les « modèles de Markov cachés » (MMC). Introduitsdans les articles fondateurs [5, 9, 10, 53], ils permettent, d’une part, de modéliserd’une manière simple la loi p(x,y) et de prendre en consideration la corrélationspatiale (dans le cas des images) ou temporelle (dans le cas des signaux monodimensionnels)des données cachées. D’autre part, ils permettent de calculer (dansle cas des signaux mono-dimensionnels) ou d’approcher efficacement (dans le casdes images) les estimations des données cachées par des méthode bayésiennes. Cesmodèles ont d’innombrables applications dans divers domaines. Ainsi, de manièrenon exhaustive, nous pouvons citer quelques publications en imagerie médicale [84],bioscience [29,62], imagerie radar [32,51,55,114], écologie [8,18], communication [25],acoustique [3].Dans les modèles de Markov cachés on définit la loi p(x,y) en deux temps.On définit d’abord p(x), qui est supposée markovienne, et ensuite on définit laloi (qui modélise le caractère stochastique du "bruit") p(y∣x). L’important dansces modèles est que la loi p(x∣y), dite « a posteriori », est markovienne. Or, unefois que l’on a posé la markovianité de p(x), on ne peut obtenir la markovianitéde p(x∣y) qu’au prix des bruits p(y∣x) simples. C’est une faiblesse inutile de cesmodèles car la markovianité de p(x) n’est pas nécessaire. Cette faiblesse a été levéedans les modèles dits « modèles de Markov couples » [91, 93, 104], dans lesquelson suppose directement que le couple(X,Y) est markovien. Comme conséquencenous obtenons que p(x∣y) et p(y∣x) sont aussi markoviennes. La première propriétéimplique la possibilité d’utiliser les mêmes méthodes bayésiennes que dans le cas desMMC. La deuxième permet une modélisation « markovienne » des bruits, ce quiest plus complet que les modélisations habituelles. Notons que dans une chaîne deMarkov couple la chaîne X n’est pas nécessairement markovienne, mais cela ne nuitaucunement aux traitements car la markovianité de X ne sert, dans les MMC, quepour montrer la markovianité de p(x∣y).Par la suite, les modèles de Markov Couple ont connu des extensions qui sontles modèles de Markov Triplet (MMT) [36, 92,94]. Dans ces modèles on introduitun troisième processus U=(U n ) n∈S et on suppose que le triplet T=(X,U,Y) estde Markov. On arrive à une famille de modèles très riche, où le processus U peutmodéliser des propriétés très diverses. Il peut modéliser la non-stationnarité de X[64,67,69], la semi-markovianité de X [27,70,71], ou encore le caractère "évidentiel"X [64, 68, 96]. Sachant que dans une chaîne de Markov T =(X,U,Y) la loi de(X,Y) n’est pas nécessairement markovienne, le modèle MMT est strictement plus2