Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESI.3.2 Filtre de KalmanLe filtre de Kalman permet de calculer les probabilités « Forward » p(x n ∣y 1∶n )en deux étapes : une étape de « prédiction »qui permet de calculer la loi du X nconditionnellement à X n−1 et Y 1∶n−1 , et une étape de « correction », qui permetd’intégrer les informations apportées par l’observation de Y n .PrédictionLe couple(X,Y) est gaussien, donc la loi de X n conditionnellement à Y 1∶n−1 =y 1∶n−1 est une gaussienne de moyenne E[X n ∣y 1∶n−1 ]=m − n et de variance V[X n ∣y 1∶n−1 ]=P − n. De même, la loi de X n conditionnellement à y 1∶n est une gaussienne de moyenneE[X n ∣y 1∶n ]=m n et de variance V[X n ∣y 1∶n ]=P n . D’après les équations du système(I.34), nous pouvons calculer m − n et P − n en fonction de m n−1 et P n−1 :m − n= E[X n ∣y 1∶n−1 ]=E[(FX n−1 +ǫ n−1 )∣y 1∶n−1 ],comme ǫ n−1 Y 1∶n−1 , et E[X n−1 ∣y 1∶n−1 ]=m n−1 , nous obtenons :de même pour la variance :m − n=Fm n−1 ,P − n=F 2 P n−1 +R.(I.35)(I.36)CorrectionDans cette étape, nous utilisons les informations apportées par l’observation deY n , et nous cherchons la formule de récurrence pour calculer m n et P n en fonction dem − n et P − n . D’après les hypothèses, X n conditionnellement à y 1∶n−1 est une gaussienne,de même pour Y n ∣y 1∶n−1 . Nous commençons par calculer la moyenne de Y n ∣y 1∶n−1 etsa variance, puis la covariance entre X n ∣y 1∶n−1 et Y n ∣y 1∶n−1 . En utilisant toujours leséquations du système (I.34) :E[Y n ∣y 1∶n−1 ] = E[(m y +HX n +ξ n )∣y 1∶n−1 ]= m y +Hm − nV[Y n ∣y 1∶n−1 ] = E[(Y n − E[Y n ∣y 1∶n−1 ]) 2 ∣y 1∶n−1 ]= H 2 P − n+QC[(X n ,Y n )∣y 1∶n−1 ] = E[(X n − E[X n ∣y 1∶n−1 ])(Y n − E[Y n ∣y 1∶n−1 ])]= HP − n= k nComme conséquence, nous obtenons la loi du couple(X n ,Y n ) conditionnellement ày 1∶n−1 , qui est une gaussienneN 2 (M,V) avec :18M=(m − nm y +Hm − n) et V=( P− n k nk n H 2 P − n+Q )