Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETy 1 y 2 y 3x 1 x 2 x 3u 1 u 2 u 3Figure IV.1 – Graphe d’indépendance conditionnelle d’une chaîne de Markov cachéeM-stationnaire à bruit indépendant (CMC-MS-BI)Les paramètres d’une CMC-MS-BI à bruit indépendant sont classiquement regroupésen deux ensembles : le premier est celui de la loi du p(y n ∣x n ) et le deuxièmecelui de la chaîne V=(X,U). Nous avons détaillé dans le chapitre (III) comment estimerle premier ensemble de paramètres. Pour le deuxième ensemble nous détaillonsle cas oùV est une chaîne stationnaire réversible (p(v n =a,v n+1 =b)=p(v n =b,v n+1 =a)) et que la loip(v n ,v n+1 ) se développe comme dans l’équation (IV.8) alors les paramètresà estimer sont : p(u n+1 ∣u n ) et p(x n+1 ∣u n+1 ,x n ). Ces paramètres sont obtenusà partir de la loi p(x n+1 ,u n+1 ,x n ,u n ) que nous pouvons les estimer avec l’algorithmeICE (III.2) en se donnant un estimateur ̂p à partir des données complètes. Unenouvelle fois, nous choisissons comme estimateur l’estimateur empirique donné par :N−11̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ) = ∑2(N−1) n=1[ 1(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l )+ 1(x n+1 =ω j ,u n+1 =λ l ,x n =ω i ,u n =λ k )]A chaque itération q+ 1 de l’algorithme ICE et sachant la valeur ancienne desparamètres θ q et les observations y 1∶N , l’espérance mathématique de cet estimateurest calculable et est donnée par :̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 N−11) = ∑2(N−1) n=1[ p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ∣θ q ,y 1∶N )cela donne en particulier :+ p(x n+1 =ω j ,u n+1 =λ l ,x n =ω i ,u n =λ k ∣θ q ,y 1∶N )]p(u n+1 =λ k ∣u n =λ l ,θ q+1 )= ∑ i,ĵp(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 )∑ i,j,k̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 ) (IV.9)p(x n+1 =ω i ∣u n+1 =λ k ,x n =ω j ,θ q+1 )= ∑ l̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 )∑ i,l̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 )(IV.10)60