Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESBX 1 X 3 X 5DCX 2 X 4 X 6 X 7Figure I.2 – Exemple d’un graphe d’indépendance conditionnelle orientée :{X 7 }et{X 3 ,X 4 } sont indépendants conditionnellement à{X 6 }X 1 X 3 X 5X 2 X 4 X 6 X 7Figure I.3 – Graphe moral du graphe (I.2)SoitAune partie deS. On dit queAest ancestral, si pour tout u appartenantàA, les parents de u sont dansA, pa(u)⊂A. SoientB,C etD trois sous ensemblesdeS, deux à deux disjoints. On dit queDsépareBetC dans → G , si et seulementsi,DsépareBetC dans le graphe moralG m , avecG m engendré 1 par le plus petitensemble ancestral contenantB,C etD.Définition I.6 Soit → G =(S, → E) un graphe orienté. Le processus aléatoire X =(X n ) 1∶N satisfait la propriété de Markov « globale »par rapport à → G , si pour touttriplet(B,C,D) de sous-ensembles deS, disjoints deux à deux, tel queDsépareBetC dans → G , on a :X B X C ∣X D(I.7)Le choix entre les deux modèles graphiques « orientés » et « non-orientés » dependessentiellement de type de relation que nous cherchons a modéliser. Chaque1. Soit → G =(S, → E) un graphe,S ′ ⊂S, on appelle sous graphe engendré parS ′ le graphe→ G ′ =(S ′ , → E ′ ) où → E ′ est l’ensemble d’arcs dans → G ayant les deux extrémités dansS ′ .9