Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

IntroductionNotre travail se situe dans le domaine des traitements statistiques des signaux.Parmi ces traitements nous nous intéressons aux méthodes bayésiennes. Le problèmegénéral est celui de l’estimation du signal caché à partir du signal observé.Nous considérons que le signal observé est une réalisation y=(y n ) 1∶N d’un processusaléatoireY=(Y n ) 1∶N sur un réseauS={1,..,N} et nous cherchons à estimer la réalisationx=(xn ) 1∶N d’un processus aléatoire cachéX=(X n ) 1∶N . Nous supposerons queles variables X n prennent leurs valeurs dans un espaceX et les variables Y n prennentleurs valeurs dans un espaceY. Lorsque le signal caché est discret son estimationsera appelée « segmentation »; lorsqu’il est continu on parlera de « filtrage » ou de« lissage ».Une méthode bayésienne de segmentation ou de lissage est caractérisée par unefonction de coût, dite aussi fonction de perte, L∶X N ×X N → R. La fonction decoût L permet de mesurer la perte moyenne subie lors de l’application d’une méthodedonnée. En notant une méthode bayésienne Ŝ, la méthode (on dit souvent la"stratégie") bayésienne vérifie :E[L(Ŝ(Y),X)]=arg min E[L(S(Y),X)] (1)SLorsque l’espaceX est fini les fonctions de perte parmi les plus utilisées sont lessuivantes :◻L∶ X N ×X N → R(x 1 1∶N ,x2 1∶N ) ↦ 1−δ(x1 1∶N ,x2 1∶N ) ; (2)◻L∶ X N ×X N → R(x 1 1∶N ,x2 1∶N ) ↦ 1− N∑ 1 N n=1δ(x 1 n,x 2 n)avec δ est l’indice de Kronecker δ(a,b)=1 si a=b et 0 sinon.La fonction (2) pénalise de la manière toutes les solutions Ŝ(Y) différentes de X.La solution bayésienne correspondant à cette fonction de perte, appelée « Maximuma Posteriori » (MAP), est donnée par :(3)̂x MAP (y)=argmax p(x∣y) (4)x∈X NOn remarque que l’estimateur du MAP est équivalent à l’estimateur du maximumde vraisemblance lorsque la loi a priori est la loi uniforme.Contrairement à la fonction (2), la fonction (3) a un aspect local et elle ne pénalisepas de la même manière toutes les estimations de X. La méthode bayésienne1