Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSOn dit que Y =(Y n ) n∈Z est un processus aléatoire réel du second ordre si pourtout n∈Z, Y n est de carré integrable.Définition V.1 Soit Y =(Y n ) n∈Z un processus réel. Y est stationnaire du secondordre si Y est un processus de second ordre dont la moyenne et la covariance sontinvariantes par translation :µ(n)=E(Y n )=µΓ(Y p ,Y n )=γ(n−p)La famille(γ(h)) h∈Z est appelée « la famille des covariances ».Définition V.2 Une fonction C de R dans R est à variation lente si pour toutx>0, C(tx)/C(t) tend vers 1 quand t tend vers l’infini.L’exemple classique de fonctions à variation lente sont les fonctions constantesC(h)↦C.Définition V.3 Soit Y=(Y n ) n∈Z un processus réel stationnaire du second ordre. Yest dit à "dépendance longue" (ou à "mémoire longue") s’il existe un α∈]0,1[ etune fonction à variation bornée C(h) telle que la famille des covariances(γ(h)) h∈Zest équivalente à C(h).h −α quand h tend vers+∞ et on note γ(h) ∼+∞C(h).h −αlimh→+∞ hα γ(h)=C(h)(V.1)Nous pouvons remarquer que dans un processus à mémoire longue nous avons∑ h∈N ∣γ(h)∣=+∞. Dans les cas où cette somme est finie le processus Y est dità "mémoire courte". En particulier, les chaînes de Markov sont des processus àmémoire courte.L’exemple le plus connu dans la littérature sur les processus à mémoire longuesont les processus « Auto-régressifs-moyennes mobiles fractionnaire » (FARIMA(p,d,q))[56, 58, 81], qui généralisent les processus ARIMA(p,d,q) [15]. On montre que siY =(Y n ) n∈Z est un processus FARIMA(0,d,0) alors sa famille de covariance estéquivalente à :Γ(1−2d)γ(h) ∼h→+∞ Γ(d)Γ(1−d) σ2 εh 2d−1(V.2)Pour un processus FARIMA on a donc : α=1−2d.Un exemple de simulation d’un processus FARIMA est présenté à la figure (V.1).100