Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

Chapitre IIIEstimation des paramètresNous avons présenté, jusqu’a maintenant, des algorithmes permettant de calculerles probabilités a posteriorip(x n ∣y 1∶N ) pour plusieurs modèles. Nous avons égalementdétaillé les règles de décision pour segmenter un signal ou une image cachés à partirdes données observées y 1∶N . Le problème de l’estimation des paramètres de ces modèles,qui peut être très important dans les applications réelles, n’a pas encore étéabordé. Notons θ=(θ 1 ,...,θ M ) l’ensemble des paramètres d’un modèle considéré.L’objet de ce chapitre est de présenter diverses méthodes de leur estimation à partirde y 1∶N . On noteP Θ l’ensemble des lois paramétriques de p(y∣θ)P Θ ={p(y∣θ), θ∈Θ}(III.1)L’estimateur du maximum de vraisemblance consiste en recherche des paramètresqui maximisent la vraisemblance p(y∣θ) :θ MVL (y)=argmaxθ∈Θp(y∣θ)(III.2)Pour des raisons pratiques, la vraisemblance p(y∣θ) est généralement remplacée parla log-vraisemblanceL(y∣θ)=log[p(y∣θ)]; la fonction logarithme étant croissante,l’estimateur du maximum de vraisemblance est également donné par :θ MVL (y)=argmaxθ∈ΘL(y∣θ)(III.3)Dans le cadre de notre étude des modèles markoviens cachés ou couples, la maximisationde l’équation (III.3) est généralement difficile à réaliser directement du faitque y n’est que la partie observée des données du modèle Z=(X,Y). Des algorithmesnumériques itératifs ont été proposés pour résoudre ce problème en utilisantles données complètes et la log-vraisemblance complète :L c (x,y∣θ)=log[p(x,y∣θ)].(III.4)Parmi ces algorithmes, nous pouvons citer l’algorithme Espérance-Maximisation (enanglais Expectation-Maximisation algorithm, souvent abrégé en « EM ») qui a étéproposé par Dempster et al. en 1977 [34], ainsi que ces variantes : GEM, CEM, SEM,SAEM [16,20,22]. L’algorithme EM est composé de deux étapes :◊ Étape (E) : à la quelle nous cherchons à évaluer l’espérance conditionnelle dela log-vraisemblance complète E θ ∗[L c (X,Y∣θ)∣Y=y]41