Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

Annexe CVecteurs gaussiensDéfinition C.1 On dit qu’un vecteur réel aléatoire X=(X 1 ,..,X n ) est un vecteurréel gaussien si et seulement si pour toute suite de réels a=(a 1 ,..a n )∈R n , la variablealéatoire Z=∑ n i=1a i X i est une variable réelle gaussienne.Remarque C.1 Soit X=(X 1 ,..,X n ) est un vecteur réel gaussien :i) Pour toute i=1,..n X i est une variable réelle gaussienne de loiN(m i ,σ 2 i )ii) Si Y=∑ n i=1α i X i , on a :,V[Y]=E[Y]=n∑i,jn∑i=1α i m iα i α j Cov(X i ,X j )Soit X =(X 1 ,..,X n ) est un vecteur réel gaussien, on appelle espérance de X le⎛ m 1 ⎞vecteur m= ⎜ ⋮ ⎟ où m i = E[X i ]. On appelle matrice de covariance de X la⎝ m n⎠matrice Γ telle que Γ i,j =Cov(X i ,X j ). On note la loi de X :X∼N n (m,Γ).Soient X 1 et X 2 deux vecteurs réels gaussiens de dimensions respectives n 1 etn 2 , de moyennes respectives m 1 et m 2 et de matrices de covariances respectives Σ 1,1et Σ 2,2 , tel que le couple X=(X 1 ,X 2 ) est un vecteur réel gaussien de moyennem=( m1m 2) et de matrice de covariance Σ=( Σ1,1 Σ 1,2Σ 2,1 Σ 2,2). La loi p(x2 ∣x 1 ) est unegaussienne de moyenne :et de matrice de covariance :m 2∣1 =m 2 +Σ 2,1 (Σ 1,1 ) −1 (x 1 −m 1 ),Σ 2∣1 =Σ 2,2 −Σ 2,1 (Σ 1,1 ) −1 Σ 1,2 .127