Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSde faciliter les comparaisons, supposons que le système est gaussien. Cela s’écrit dela façon suivante :R 1∶N est une chaîne de Markov;(V.16)X n = F n (R n )X n−1 +V n (R n ); (V.17)Y n = G n (R n )X n +W n (R n ), (V.18)où V 1∶N et W 1∶N sont deux vecteurs gaussiens, et X 1 ,V 1 ,...,V N ,W 1 ,...,W N sont indépendantset dépendent de R n . Pour tout 1≤n≤N, F n et G n dépendent égalementde R n .Considérons le problème de filtrage optimal (au sens de l’erreur quadratiquemoyenne), qui est de calculer E[X n+1 ∣y 1∶n+1 ] et V[X n+1 ∣y 1∶n+1 ]. Nous avons :E[X n+1 ∣y 1∶n+1 ]=∑r n+1p(r n+1 ∣y 1∶n+1 )E[X n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n+1 ](V.19)on cherche alors une relation de récurrence entre p(r n+1 ∣y 1∶n+1 ) et p(r n ∣y 1∶n ). Nousavons :p(r n+1 ∣y 1∶n+1 )=∑p(r n+1 ,r n ∣y 1∶n+1 )= ∑ r np(r n+1 ,y n+1 ∣r n ,y 1∶n )p(r n ∣y 1∶n )r np(y n+1 ∣y 1∶n )(V.20)et pour le calcul de p(x n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n+1 ) nous avons les relations suivantes :p(x n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n )=∫ Rp(x n+1 ∣x n ,r n+1 )p(x n ∣r n+1 ,y 1∶n )dx n(V.21)p(x n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n+1 )= p(x n+1∣r n+1 ,y 1∶n )p(y n+1 ∣x n+1 ,r n+1 )p(y n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n )(V.22)On résout alors le problème classiquement « à sauts fixés »; en effet, dans le casoù R 1∶N est connu, des versions du filtre de Kalman sont applicables à ce modèlepour calculer les quantités, E[X n ∣r n ,y 1∶n ] dans le cas du filtrage [18, 43, 44, 46] etE[X n ∣r n ,y 1∶N ] dans le cas du lissage [18,47]. Cependant, lorsque R 1∶N ne sont pasobservés, ces quantités ne sont pas calculables directement et doivent être approchées[1,31,40]. Les difficultés sont dues au fait que les distributions p(r n ∣y 1∶n ),p(y n+1 ∣y 1∶n ),et p(y n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n ) ne sont pas calculables avec une complexité linéaire en N. Parcontre, si le couple(R 1∶N ,Y 1∶N ) est une chaîne de Markov classique ou une chaînepartiellement de Markov ces calculs sont possibles. Dans la suite, nous présentonsdeux modèles à saut Markovien dans le premier nous supposons que le couple estune chaîne de Markov et le deuxième qu’elle est partiellement de Markov.V.3.2 Modèle conditionnellement linéaire à sauts markoviens(CCLSM)L’idée de ce modèle est de modifier les hypothèses (V.16) et (V.18) par le faitque le couple(R 1∶N ,Y 1∶N ) est une chaîne de Markov. De manière générale, danstous les modèles classiques la loi du triplet(X,R,Y) est définie par la loi (markovienne)de(X,R) et les lois de Y conditionnelles à(X,R). Le couple(R,Y) n’estalors pas nécessairement markovien, ce qui implique les difficultés mentionnées dans106