Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLEsous sa forme factorisée :N−1p(z)=p(z 1 )∏n=1p(z n+1 ∣z n )(II.16)Comme dans le cas classique des CMC, l’algorithme de Baum-Welsh permet d’estimerune réalisation du processus caché X à partir des observations au sens de lasolution MPM (5).A B Cy 1 y 2 y n−1 y n y n+1 y N−1 y Nx 1 x 2 x n−1 x n x n+1 x N−1 y NFigure II.2 – Graphe d’indépendance conditionnelle d’une chaîne Markov coupleNous reprenons ci-après le calcul des probabilités « directes » α n et les probabilités« rétrogrades » β n , qui sont des extensions des quantités analogues utiliséesdans les CMC classiques. Nous avons :p(x n =ω i ∣y 1∶N )=p(x n =ω i ,y 1∶N )∑ K j=1p(x n =ω j ,y 1∶N )(II.17)Comme nous pouvons remarquer sur la figure (II.2)B=(x n ,y n ) sépareA=(y 1∶n−1 ) etC=(y n+1∶N ) (tout chemin entreA etC passe parB voir (I.1.1)) d’où p(x n ,y 1∶N ) peuts’écrire comme un produit :p(x n ,y 1∶N )=p(x n ,y 1∶n )p(y n+1∶N ∣x n ,y 1∶n )En notant parα n (x n )=p(x n ,y 1∶n ) la probabilité directe, et parβ n (x n )=p(y n+1∶N ∣x n ,y n )la probabilité rétrograde, nous avons :p(x n =ω i ∣y 1∶N )=α n (x n =ω i )β n (x n =ω i )∑ K j=1α n (x n =ω j )β n (x n =ω j )(II.18)De même nous pouvons déduire la probabilité de X n+1 conditionnellement à X n ,Y 1∶Nen fonction des β n et les transitions p(z n+1 ∣z n ) :p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N )= β n+1(x n+1 )p(z n+1 ∣z n )β n (x n )(II.19)Les α n et les β n sont calculés par recurrence :32